La teoría de conjuntos no es realmente mi área, pero como me preguntaste, busqué la exponenciación cardinal, y estoy razonablemente seguro de que puedo resolver esto.
Básicamente, según la definición, si [math] X [/ math] es un conjunto infinitamente contable, entonces [math] | X | ^ {| X |} = | X ^ X |, [/ math] donde [math] X ^ X [/ math] es el conjunto de todas las funciones desde [math] X [/ math] a [math] X. [/ Math] Está claro que [math] \ aleph_0 ^ {\ aleph_0} [/ math] es incontable ya que [math] 2 \ leq \ aleph_0 [/ math] y [math] 2 ^ {\ aleph_0} [/ math] es incontable (la exponenciación cardinal no es decreciente en ambos argumentos).
La parte complicada es probar [math] \ aleph_0 ^ {\ aleph_0} \ leq 2 ^ {\ aleph_0} [/ math]. Tome [math] X = \ mathbb {N} [/ math] para que veamos la cardinalidad del conjunto de funciones [math] f: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N} [/ math]. Eso es equivalente al conjunto de todas las secuencias infinitamente contables de números naturales ([math] f \ mapsto (f (1), f (2), f (3), \ dots) [/ math]). Asignaremos este conjunto al conjunto de números reales, que tiene cardinalidad [matemática] 2 ^ {\ aleph_0} [/ matemática].
Así que aquí está el truco que se me ocurrió. Exprese los números naturales en cada secuencia en binario, por lo que tenemos secuencias de números naturales expresados en binario (p. Ej. [Matemática] (110, 1, 101010, 1111, …) [/ matemática]). Podemos continuar expresando los números reales en la base 10 (o cualquier base mayor que 2 realmente). Dada una secuencia [math] (a_n) [/ math] cuya entrada [math] i [/ math] th tiene [math] m_i [/ math] dígitos, asignamos la secuencia a un número real de base 10 entre 0 y 1 cuya los primeros [math] m_1 [/ math] dígitos son los mismos (en términos de 1 y 0) que [math] a_1, [/ math] el [math] m_1 + 1 [/ math] dígito es un 2, el siguiente [ math] m_2 [/ math] los dígitos son los mismos dígitos que [math] a_2 [/ math], el siguiente dígito es [math] 2, [/ math] y así sucesivamente.
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Por ejemplo, la secuencia [math] (110, 1, 101010, 1111, \ dots) [/ math] se correlacionaría con el número real [math] 0.110212101010211112 \ dots [/ math]. Dejaré que discutas rigurosamente la inyectividad de este mapa, pero creo que es bastante claro ya que los 2 separan las entradas de cada secuencia.
Concluimos [math] \ aleph_0 ^ {\ aleph_0} = 2 ^ {\ aleph_0}. [/ Math]