¿Cuáles son los dos últimos dígitos de 2 ^ 64 + 3 ^ 67?

Answer 1

Déjame resolverlo en dos partes:

Primera parte:

[matemáticas] \ displaystyle {2 ^ {64}} = {\ left ({{2 ^ {10}}} \ right) ^ 6} {. 2 ^ 4} = {\ left ({XY24} \ right) ^ 6} {. 2 ^ 4} [/ matemáticas]

Tenemos,

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {{24 ^ {impar}} = XY24} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {{24 ^ {even}} = AB76} [/ math]

Por lo tanto, los dos últimos dígitos están dados por [math] \ displaystyle = 76 \ times 16 = MN16 [/ math]

---

Segunda parte:

Escribiremos el número dado como (para que termine con 1 cuando se eleva a algún número)

[matemáticas] \ displaystyle {3 ^ {^ {67}}} = {\ left ({{3 ^ 4}} \ right) ^ {16}} {. 3 ^ 3} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = {\ left ({81} \ right) ^ {16}}. \ left ({27} \ right) [/ math]

Como el primer término termina con 1, podemos encontrar los dos últimos dígitos como

[matemáticas] \ displaystyle = \ {\ left ({8 \ times 6} \ right) | 1 \} .27 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = 81 \ veces 27 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = 87 [/ matemáticas]

---

La suma de los últimos dígitos de las dos partes es [math] \ displaystyle = 16 + 87. [/ Math]

Por lo tanto, los dos últimos dígitos del problema dado son [matemáticas] 03 [/ matemáticas]

Espero que esto te ayude 🙂

~ Praveenkumar Kalikeri ~

Answer 2

Resp. 03

Esta pregunta puede resolverse extremadamente rápido si conoce la ciclicidad de los últimos 2 dígitos de potencias de 2 y 3. Desafortunadamente, muy pocas personas recuerdan realmente la ciclicidad de los últimos 2 dígitos.

Para ambas potencias de 2 y 3, los últimos 2 dígitos siguen una ciclicidad de 20.

es decir, [matemáticas] 2 ^ {k} \ equiv 2 ^ {k + 20} \ pmod {100} [/ matemáticas] excepto cuando k = 1

En general [matemáticas] 2 ^ {20m + 1} \ equiv 52 \ pmod {100} [/ matemáticas] para todos los valores naturales de m

Para m = 0, se convierte en [matemáticas] 2 ^ {1} \ equiv 02 \ pmod {100} [/ matemáticas]

Del mismo modo, [matemáticas] 3 ^ {k} \ equiv 3 ^ {k + 20} \ pmod {100} [/ matemáticas] para todas las k

Usando este conocimiento, sabemos

[matemáticas] 2 ^ {64} \ equiv 2 ^ {4} \ equiv 16 \ pmod {100} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ {67} \ equiv 3 ^ {7} \ equiv 87 \ pmod {100} [/ matemáticas]

[matemáticas] 87 + 16 = 103 [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas] [matemáticas] \ equiv 03 \ pmod {100} [/ matemáticas]