¿Cuál es mayor, x ^ (infinito) o (infinito) ^ x?

Answer 1

Para cualquier número cardinal transfinito, [math] \ kappa [/ math] y número natural [math] n> 1 [/ math]:

[matemáticas] \ quad n ^ {\ kappa}> {\ kappa} ^ n = \ kappa [/ math]

Para otros tipos de números, es mejor que defina exactamente lo que quiere decir con esas expresiones, pero es probable que exista una desigualdad similar para [matemáticas] x> 1 [/ matemáticas].

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Por cierto, existe una clara relación entre el número de funciones de un conjunto [matemático] X [/ matemático] a un conjunto [matemático] Y [/ matemático] y exponenciación, a saber:

[matemáticas] \ quad | X \ a Y | = | Y | ^ {| X |} [/ matemáticas]

Esto funciona para conjuntos finitos y transfinitos, por lo que el número de funciones desde [matemática] \ {1,2 \} [/ matemática] a [matemática] \ {a, b, c \} [/ matemática] es [matemática ] 3 ^ 2 = 9 [/ math], mientras que el número de funciones de [math] \ {a, b, c \} [/ math] a [math] \ {1,2 \} [/ math] es [ matemática] 2 ^ 3 = 8 [/ matemática] equivalente al número de subconjuntos o conjunto de potencia de [matemática] \ {a, b, c \} [/ matemática].

Answer 2

Tanto [math] lim_ {n \ to \ infty} x ^ {n} [/ math] como [math] lim_ {n \ to \ infty} n ^ {x} [/ math] van a [math] \ infty [ / math] para [math] x> 1 [/ math], por lo que se podría decir que son iguales.

Sin embargo, hay una cosa divertida para suficientemente grandes [matemáticas] n [/ matemáticas], [matemáticas] n ^ x [/ matemáticas] crece con la velocidad [matemáticas] x \ veces n ^ {x-1} [/ matemáticas], que es menor que la tasa de cambio de la segunda expresión, es decir. [matemáticas] log (x) \ veces x ^ {n} [/ matemáticas].

Eso significa que cualquiera que sea el [matemático] n [/ matemático] que elija, [matemático] x ^ {n} [/ matemático] es más grande.

Answer 3

Infinito significa un número muy grande pero no sabemos el valor exacto de infinito.

Entonces, en base a esto, ambos términos alcanzarán el infinito

Pero no podemos comparar esos 2 números.

Answer 4

Deje x = 2.

Luego tenemos 2 ^ y e y ^ 2. A medida que y aumenta de valor, 2 ^ y se aproxima al infinito más rápido que y ^ 2. Esto será cierto sin importar la constante x> 1, que supongo que quieres decir.