¿Cuáles son los últimos tres dígitos de [matemáticas] 2017 ^ {2017} [/ matemáticas]?

Answer 1

Le mostraré cómo encontrar [matemáticas] 2017 ^ {2017} [/ matemáticas] [matemáticas] (\ rm mod ~ 1000) [/ matemáticas] utilizando el método de “cuadratura sucesiva”.

Primero, convierta el exponente, [math] 2017 [/ math], a binario. El resultado es [math] \ bbox [# CFC, 2px] {11111100001} [/ math].

Pondremos el número [math] \ bbox [# FCC, 2px] {1} [/ math] en nuestra “calculadora” (se muestra en [math] \ bbox [# FCC, 2px] {\ rm pink} [/ matemáticas]). En este proceso, continuaremos cuadrando el número en nuestra calculadora y posiblemente multiplicando el número por nuestra base, [matemáticas] 2017 [/ matemáticas], (o no, dependiendo de los bits de nuestro exponente) hasta que tengamos el resultado final .

Verá, usaremos nuestro exponente binario (que se muestra en [math] \ bbox [# CFC, 2px] {\ rm green} [/ math]) como un programa de computadora. Lo leeremos de izquierda a derecha, y por cada bit “1”, elevaremos al cuadrado el número en nuestra calculadora y luego lo multiplicaremos por [matemáticas] 2017 [/ matemáticas]. Para cada bit “0”, simplemente elevaremos al cuadrado el número en nuestra calculadora.

Comenzando con [math] \ bbox [# FCC, 2px] {1} [/ math] en nuestra calculadora, y leyendo nuestra cadena de bits como un programa de computadora …

El primer bit es [math] \ bbox [# CFC, 2px] {1} [/ math] bit, así que cuadre, luego multiplique por [math] 2017 [/ math] [math] (\ rm mod ~ 1000) [/ matemática], que resulta en [matemática] \ bbox [# FCC, 2px] {17} [/ matemática].

El segundo bit es [math] \ bbox [# CFC, 2px] {1} [/ math] bit, así que cuadrelo, luego multiplique por [math] 2017 [/ math] [math] (\ rm mod ~ 1000) [/ matemática], que resulta en [matemática] \ bbox [# FCC, 2px] {- 87} [/ matemática].

El siguiente bit es [math] \ bbox [# CFC, 2px] {1} [/ math] bit, así que cuadrátelo, luego multiplíquelo por [math] 2017 [/ math] [math] (\ rm mod ~ 1000) [/ matemática], que resulta en [matemática] \ bbox [# FCC, 2px] {- 327} [/ matemática].

El siguiente es [math] \ bbox [# CFC, 2px] {1} [/ math] bit, así que cuadrátelo, luego multiplíquelo por [math] 2017 [/ math] [math] (\ rm mod ~ 1000) [/ math ], que da como resultado [math] \ bbox [# FCC, 2px] {- 207} [/ math].

… Luego [math] \ bbox [# CFC, 2px] {1} [/ math] bit, así que cuadrátelo, luego multiplíquelo por [math] 2017 [/ math] [math] (\ rm mod ~ 1000) [/ math ], lo que resulta en [math] \ bbox [# FCC, 2px] {433} [/ math].

… Luego [math] \ bbox [# CFC, 2px] {1} [/ math] bit, así que cuadrátelo, luego multiplíquelo por [math] 2017 [/ math] [math] (\ rm mod ~ 1000) [/ math ], lo que resulta en [math] \ bbox [# FCC, 2px] {313} [/ math].

… Luego [math] \ bbox [# CFC, 2px] {0} [/ math] bit, así que cuadre [math] (\ rm mod ~ 1000) [/ math], resultando en [math] \ bbox [#FCC , 2px] {- 31} [/ math].

… Luego [math] \ bbox [# CFC, 2px] {0} [/ math] bit, así que cuadre [math] (\ rm mod ~ 1000) [/ math], resultando en [math] \ bbox [#FCC , 2px] {- 39} [/ matemáticas].

… Luego [math] \ bbox [# CFC, 2px] {0} [/ math] bit, así que cuadre [math] (\ rm mod ~ 1000) [/ math], resultando en [math] \ bbox [#FCC , 2px] {- 479} [/ matemáticas].

… Luego [math] \ bbox [# CFC, 2px] {0} [/ math] bit, así que cuadre [math] (\ rm mod ~ 1000) [/ math], resultando en [math] \ bbox [#FCC , 2px] {441} [/ matemáticas].

… Luego [math] \ bbox [# CFC, 2px] {1} [/ math] bit, así que cuadrátelo, luego multiplíquelo por [math] 2017 [/ math] [math] (\ rm mod ~ 1000) [/ math ], lo que resulta en [math] \ bbox [# FCC, 2px] {177} [/ math].

Entonces, el resultado final es: [matemáticas] \ boxed {2017 ^ {2017} \ equiv 177 ~ (\ rm mod ~ 1000)} [/ math].

Answer 2

Por aritmética modular, [matemáticas] 2017 ^ {2017} \ equiv 17 ^ {2017} \ pmod {1000} [/ matemáticas]

Ahora usando el Teorema del Totiente de Euler, tenemos [math] \ phi (1000) = 400 [/ math], por lo tanto, [math] 17 ^ {400} \ equiv 1 \ pmod {1000} [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] 17 ^ {2017} = (17 ^ {400}) ^ 5 \ cdot 17 ^ {17} \ equiv 17 ^ {17} \ pmod {1000} [/ matemáticas]

Así que realmente solo necesitamos encontrar los últimos tres dígitos de [math] 17 ^ {17} [/ math]. Para hacer esto, podemos usar un atajo más: el método de cuadratura sucesiva:

[matemáticas] \ begin {array} {clll} 17 ^ 2 & & & = 289 \\ 17 ^ 4 & = 289 ^ 2 & = 83521 & \ equiv 521 \\ 17 ^ 8 & \ equiv 521 ^ 2 & = 271441 & \ equiv 441 \\ 17 ^ {16} & \ equiv 441 ^ 2 & = 194481 & \ equiv 481 \ end {array} [/ math]

Por lo tanto, [matemáticas] 17 ^ {17} = 17 * 17 ^ {16} \ equiv 17 * 481 = 8177 \ equiv 177 \ pmod {1000} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] 2017 ^ {2017} \ equiv \ boxed {177} \ pmod {1000} [/ math]

Answer 3

Lo primero que debe tener en cuenta es que el 2 no tiene relación con los últimos 3 dígitos, por lo que en realidad solo está viendo los poderes de 017. Una reproducción rápida en Excel que mira los últimos 3 dígitos de poderes de 17 revela que 17 ^ 101 tiene los últimos dígitos de 017, lo que significa que los dígitos se repiten cada 100 potencias. Sin embargo, también significa que cada 101, el ciclo se repite, por lo que este problema se reduce a los últimos 3 dígitos de 17 ^ (2017 mod 100), que es 17 ^ 17. Mirar hacia abajo de la mesa me da 177.

Por cierto, la fórmula relevante es:

B2 = MOD (B1 * 2017,1000)