A2A:
[matemáticas] \ dfrac {| 3 ^ x-1 | – | 3-3 ^ x | -2} {\ sqrt {4 ^ x-2 ^ {x + 3} +16}} \ ge 0 [/ matemáticas]
Primero, observe que la fracción solo tiene valores reales si el contenido de la raíz cuadrada es mayor que 0. Si el contenido es igual a 0, entonces la fracción no está definida, si el contenido es menor que 0, entonces la raíz cuadrada no está definida. .
Como el denominador es la raíz cuadrada principal, debe ser positivo, por lo que para que la fracción entera sea mayor o igual a 0, el numerador debe ser mayor o igual a 0.
Comenzaré resolviendo el denominador:
[matemáticas] 4 ^ x-2 ^ {x + 3} +16> 0 [/ matemáticas]
[matemática] \ izquierda (2 ^ 2 \ derecha) ^ x – 2 ^ x \ cdot 2 ^ 3 + 16> 0 [/ matemática]
[matemática] \ izquierda (2 ^ x \ derecha) ^ 2 – 8 \ cdot 2 ^ x + 16> 0 [/ matemática]
Sustituiré [matemáticas] u = 2 ^ x [/ matemáticas]
[matemáticas] u ^ 2 – 8u + 16> 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (u-4) ^ 2> 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (u-4> \ sqrt {0}) \ cup (u-4 <- \ sqrt {0}) [/ matemáticas]
[matemáticas] (u> 4) \ taza (u <4) [/ matemáticas]
[matemáticas] u \ ne 4 [/ matemáticas]
Sustitución inversa:
[matemáticas] 2 ^ x \ ne 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] x \ ne 2 [/ matemáticas]
Por lo tanto, el denominador nos restringe de manera tal que x no puede ser 2.
Ahora para resolver el numerador:
[matemáticas] | 3 ^ x-1 | – | 3-3 ^ x | -2 \ ge 0 [/ matemáticas]
Debido a los valores absolutos, necesitamos saber dónde los contenidos del primer valor absoluto no son negativos, y dónde los contenidos del segundo valor absoluto no son negativos.
[matemáticas] 3 ^ x-1 \ ge 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 ^ x \ ge 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x \ ge \ log_3 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x \ ge 0 [/ matemáticas]
Para el segundo valor absoluto:
[matemáticas] 3-3 ^ x \ ge 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 \ ge 3 ^ x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ log_3 3 \ ge x [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 \ ge x [/ matemáticas]
Por lo tanto, si [matemática] x <0 [/ matemática], [matemática] | 3 ^ x-1 | = - (3 ^ x-1) = 1-3 ^ x [/ matemática], [matemática] | 3- 3 ^ x | = 3-3 ^ x [/ matemáticas]
Si [matemática] 0 \ le x \ le 1 [/ matemática], [matemática] | 3 ^ x-1 | = 3 ^ x-1 [/ matemática], [matemática] | 3-3 ^ x | = 3- 3 ^ x [/ matemáticas]
Si [matemáticas] x> 1 [/ matemáticas], [matemáticas] | 3 ^ x-1 | = 3 ^ x-1 [/ matemáticas], [matemáticas] | 3-3 ^ x | = – (3-3 ^ x) = 3 ^ x-3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ begin {align} (1-3 ^ x) – (3-3 ^ x) -2 & \ ge 0 & \ text {if} x <0 \\ (3 ^ x-1) - (3 -3 ^ x) -2 & \ ge 0 & \ text {if} 0 \ le x \ le 1 \\ (3 ^ x-1) - (3 ^ x-3) -2 & \ ge 0 & \ text {if} x> 1 \ end {align} [/ math]
Términos combinados:
[matemáticas] \ begin {align} -4 & \ ge 0 & \ text {if} x <0 \\ 2 \ cdot 3 ^ x - 6 & \ ge 0 & \ text {if} 0 \ le x \ le 1 \\ 0 & \ ge 0 & \ text {if} x> 1 \ end {align} [/ math]
Para el primer caso, obtenemos una contradicción, para el tercer caso obtenemos una identidad si [math] x> 1 [/ math], por lo que solo tenemos que mirar el segundo caso.
[matemáticas] 2 \ cdot 3 ^ x – 6 \ ge 0 \ text {if} 0 \ le x \ le 1 [/ math]
[matemáticas] 2 \ cdot 3 ^ x \ ge 6 \ text {if} 0 \ le x \ le 1 [/ math]
[matemáticas] 3 ^ x \ ge 3 \ text {if} 0 \ le x \ le 1 [/ math]
[matemáticas] x \ ge \ log_3 3 \ text {if} 0 \ le x \ le 1 [/ math]
[matemáticas] x \ ge 1 \ text {if} 0 \ le x \ le 1 [/ math]
Ambas condiciones solo son verdaderas cuando [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas].
Por lo tanto, [matemática] x <0 [/ matemática] no es una solución, porque da una contradicción, [matemática] x = 1 [/ matemática] puede ser una solución, y [matemática] x> 1 [/ matemática] es garantizado para ser una solución.
Por lo tanto, obtenemos [math] [1, \ infty) [/ math] para el numerador. Sin embargo, recuerde que [math] x \ ne 2 [/ math] debido al denominador, por lo tanto, la solución general es:
[matemáticas] [1,2) \ taza (2, \ infty) [/ matemáticas]