Esta es la ecuación de Ricatti La ecuación de Riccati (Ecuación de Riccati – Wikipedia).
Explorando la solución de esta ecuación numéricamente he encontrado
- La solución parece ser regular para cada [matemática] t> 0 [/ matemática].
- [matemática] x (t) \ aprox. 1+ (1/2) t ^ 2 [/ matemática] para [matemática] | t [/ matemática] [matemática] | \ ll 1 [/ matemática]. (Este resultado es analítico).
- [matemática] x (t) \ approx \ sqrt {t} [/ matemática] para [matemática] t \ gg 1. [/ matemática]
- [matemática] x (t) [/ matemática] diverge para [matemática] t \ aprox -1.408. [/ matemática]
Wolframalpha (Computational Knowledge Engine) me dio su solución en términos de las funciones de Airy (función de Airy – Wikipedia) y sus derivados:
[matemáticas] x (t) = \ displaystyle \ frac {c_1 \ mathrm {Bi} ‘(t + 1) + c_2 \ mathrm {Ai}’ (t + 1)} {c_1 \ mathrm {Bi} (t + 1 ) + c_2 \ mathrm {Ai} (t + 1)} \ tag 1 [/ math]
- El pdf conjunto de X e Y viene dado por [math] f_ {X, Y} (x, y) = (1/4) (yx) e ^ {- y} [/ math] para [math] -y < x <y [/ matemáticas]. ¿Qué es [math] f_ {X} (x) [/ math]?
- ¿Qué significa 6-5 = 2?
- ¿Cuáles son todos los polinomios, [matemática] P (X), [/ matemática] tal que [matemática] (X-16) P (2X) = 16 (X-1) P (X) [/ matemática]?
- ¿Cómo resolver X (4x + 5) +3 (2x ^ 2-4x + 1) en pasos? Mi clave de respuesta dice 10x ^ 2-7x + 3 y me gustaría saber cómo obtuvieron esa respuesta
- ¿Cómo pruebo que [math] \ frac {\ partial ^ k M_x} {\ partial x ^ k} (a) = a ^ k \ mathbb E (x ^ k) [/ math]? Donde [math] M_x [/ math] es la función del generador de momento, [math] a [/ math] una constante y [math] k [/ math] el orden de la derivada.
dónde
[math] c_1 = \ mathrm {Ai} ‘(1) – \ mathrm {Ai} (1) \ tag 2 [/ math]
y
[math] c_2 = \ mathrm {Bi} (1) – \ mathrm {Bi} ‘(1). \ tag 3 [/ math]
- La respuesta aproximada es: El intervalo máximo de existencia para la solución es aproximadamente [matemática] (- 1.408 \ puntos, + \ infty) [/ matemática]
- La respuesta “exacta” es: El intervalo máximo de existencia para la solución es [matemática] (t_0, + \ infty) [/ matemática] donde [matemática] t_0 [/ matemática] es la mejor solución de la ecuación (trascendental?) [math] c_1 \ mathrm {Bi} (t_0 + 1) + c_2 \ mathrm {Ai} (t_0 + 1) = 0. [/ math]
Apéndice:
Las funciones de Airy Ai y Bi son las soluciones de la ecuación diferencial
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} x ^ 2} = xy. [/ math]
Por eso podemos escribir
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {dAi}} {\ mathrm {d} x} = \ mathrm {Ai} ‘[/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {dAi} ‘} {\ mathrm {d} x} = x \ mathrm {Ai} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {dBi}} {\ mathrm {d} x} = \ mathrm {Bi} ‘[/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {dBi} ‘} {\ mathrm {d} x} = x \ mathrm {Bi} [/ math]
Ahora veamos nuestra solución
[matemáticas] x (t) = \ displaystyle \ frac {c_1 \ mathrm {Bi} ‘(t + 1) + c_2 \ mathrm {Ai}’ (t + 1)} {c_1 \ mathrm {Bi} (t + 1 ) + c_2 \ mathrm {Ai} (t + 1)} [/ math]
y tomemos su derivada
[matemáticas] \ begin {alineado} x ‘(t) & = \ {[c_1 \ mathrm {Bi}’ ‘(1 + t) + c_2 \ mathrm {Ai}’ ‘(1 + t)] [c_1 \ mathrm {Bi} (1 + t) + c_2 \ mathrm {Ai} (1 + t)] \\ & \ qquad- [c_1 \ mathrm {Bi} ‘(1 + t) + c_2 \ mathrm {Ai}’ (1 + t)] ^ 2 \} / [c_1 \ mathrm {Bi} (t + 1) + c_2 \ mathrm {Ai} (t + 1)] ^ 2 \\ & = \ {[c_1 (1 + t) \ mathrm {Bi} (1 + t) + c_2 (1 + t) \ mathrm {Ai} (1 + t)] [c_1 \ mathrm {Bi} (1 + t) + c_2 \ mathrm {Ai} (1 + t )] \\ & \ qquad- [c_1 \ mathrm {Bi} ‘(1 + t) + c_2 \ mathrm {Ai}’ (1 + t)] ^ 2 \} / [c_1 \ mathrm {Bi} (t + 1) + c_2 \ mathrm {Ai} (t + 1)] ^ 2 \\ & = 1 + tx ^ 2 \ end {alineado} [/ math].
Hemos demostrado que la función dada es una solución de nuestra ecuación, ahora tenemos que demostrar que satisface la condición inicial [matemática] x (0) = 1 [/ matemática]. Forma la ecuación (1) que tenemos
[matemáticas] x (0) = \ displaystyle \ frac {c_1 \ mathrm {Bi} ‘(1) + c_2 \ mathrm {Ai}’ (1)} {c_1 \ mathrm {Bi} (1) + c_2 \ mathrm { Ai} (1)} = 1 [/ matemáticas]
por lo tanto
[matemática] c_1 \ mathrm {Bi} ‘(1) + c_2 \ mathrm {Ai}’ (1) = c_1 \ mathrm {Bi} (1) + c_2 \ mathrm {Ai} ‘(1) [/ math]
o
[matemáticas] c_1 \ left [\ mathrm {Bi} ‘(1) – \ mathrm {Bi} (1) \ right] = c_2 \ left [\ mathrm {Ai} (1) – \ mathrm {Ai}’ (1 ) \ right] [/ math]
que se puede ver como
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {c_1} {c_2} = \ frac {\ mathrm {Ai} (1) – \ mathrm {Ai} ‘(1)} {\ mathrm {Bi}’ (1) – \ mathrm { Bi} (1)}. \ Tag 4 [/ math]
Por la forma de la función (1) es obvio que los valores reales de [math] c_1 [/ math] y [math] c_2 [/ math] no son importantes, pero su relación. Podemos elegir entonces los valores dados por (2) y (3) que satisfacen (4), y por lo tanto la condición inicial.