Un número complejo z en el diagrama Argand se mueve continuamente hacia z ^ 2. ¿Cuál es su lugar geométrico (si es posible, sin usar ecuaciones diferenciales)?

Answer 1

La velocidad de una partícula en z en el plano complejo se dirige hacia z ^ 2.

En este escenario, la importancia física de la trayectoria no parece ser tan obvia. Además, tenemos una nueva situación en cada punto, por lo que creo que el uso del cálculo es inevitable.

Transformemos el plano Argand en un plano cartesiano por conveniencia:

En cada punto, se especifica la dirección de la velocidad, es decir, se nos proporciona información sobre la tangente a la curva.

Eso produce la siguiente ecuación diferencial que describe la trayectoria.

Ahora primero cruzamos, multiplicamos y reorganizamos los términos, para que se vea más o menos así.

Afortunadamente, esto se puede hacer un diferencial perfecto, dividiendo ambos lados por y ^ 2 . Aquí dividir implica que y es distinto de cero. Tomemos un momento para investigar la solución si y es cero: esto significa que la parte imaginaria de z es cero, y el eje real es el lugar requerido.

De todos modos, veamos qué sucede con los valores distintos de cero de y .

Que es esencialmente

Buena vieja regla de división!

Simplificando aún más, tenemos

Multiplica el resultado por y.

El lugar geométrico es un círculo con centro (1/2, -k). Aunque el círculo pasa por el origen y (1, 0), tenga en cuenta que estos puntos no están incluidos en el locus porque y es cero en estos puntos.

Todas las imágenes son fotografías de la solución que he escrito.

Answer 2

Cualquier número puede moverse hacia su cuadrado de innumerables maneras. Puede dibujar una línea recta desde [matemática] i [/ matemática] a [matemática] -1 [/ matemática], puede dibujar un cuarto de círculo, puede dibujar una curva ondulada que comienza dirigiéndose hacia el norte y serpentea borracho.

No hay un “locus” que pueda describirse sin información adicional sobre cómo se supone que tiene lugar el movimiento continuo.

Answer 3

Hay muchas respuestas posibles. Un conjunto de ellos es [matemática] (1-t) ^ {n_1} z + t ^ {n_2} (z ^ 2) + t ^ {n_3} (1-t) ^ {n_4} f (t) [/ matemática], para t entre 0 y 1, donde las ‘n’ son números reales positivos y ‘f’ es una función continua.

Answer 4

Estoy interpretando que la pregunta significa que se realiza repetidamente

[matemáticas] z \ leftarrow z ^ 2 [/ matemáticas]

En cuyo caso, el locus es 0 (estable) y [math] \ infty [/ math] (estable, si eso tiene sentido) o 1 (inestable) o rebotando alrededor del círculo | z | = 1 (inestable) de varias maneras , incluido el caso especial de volteo: 1, -1,1, -1.

La operación cuadrada simplemente duplica el ángulo del eje real positivo y cuadra la magnitud.