¿Cómo se ven cos, sin y tan dentro de la calculadora (en papel, no los botones en sí)?

Answer 1

Las funciones agradables que son infinitamente diferenciables pueden representarse mediante algo llamado representación de la serie Taylor.

Dado un punto central [matemática] x_0 [/ matemática] y conocimiento de su valor [matemática] f (x_0) [/ matemática], primera derivada [matemática] f ‘(x_0) [/ matemática], segunda derivada [matemática] f ” (x_0) [/ math] y así sucesivamente y podemos representar la función con un polinomio. Tomando el límite de esta serie y obtenemos una aproximación cada vez mejor de nuestra función en torno a ese punto.

Algunas funciones son extra especiales e igualan su expansión de la serie Taylor. Las funciones de activación como seno y coseno son de este tipo.

Una serie de Taylor centrada en cero también se conoce como una serie de Maclaurin

[matemáticas] \ cos (x) = 1 – \ frac {1} {2!} x ^ 2 + \ frac {1} {4!} x ^ 4 – \ frac {1} {6!} x ^ 6 + …[/matemáticas]

[matemáticas] \ sin (x) = x – \ frac {1} {3!} x ^ 3 + \ frac {1} {5!} x ^ 5 – \ frac {1} {7!} x ^ 7 + …[/matemáticas]

[matemáticas] \ tan (x) = \ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)} = x + \ frac {1} {3} x ^ 3 + \ frac {2} {15} x ^ 5 + \ frac {17} {315} x ^ 7 +… [/ matemáticas]

Entonces, ¿cómo programamos una calculadora para evaluar una función trigonométrica? Suele ser algo como esto.

1. Verifique si el valor se evalúa trivialmente y se almacena en una tabla.
2. Nos ocupamos de cualquier signo negativo. El seno es una función impar, el coseno es una función par
1. [matemática] \ sin (-x) = – \ sin (x) [/ matemática], [matemática] \ cos (-x) = \ cos (x) [/ matemática]
3. Estas funciones son periódicas. [matemáticas] f (x + n 2 \ pi) = f (x) [/ matemáticas]. Los múltiplos de [math] 2 \ pi [/ math] no cambian nada, solo evalúelo en una región estándar alrededor de cero, como el intervalo [math] [0, 2 \ pi] [/ math]
4. Se pueden usar algunas identidades más para que solo tengamos que preocuparnos por un intervalo que sea más pequeño. Para seno y coseno podemos trabajar solo con [math] [0, \ frac {\ pi} {2}] [/ math]
5. Conéctelo a una serie Taylor de precisión suficiente dentro de ese intervalo.

Dependiendo de la calculadora, este algoritmo está integrado en el hardware, o está programado en el software, o en alguna combinación.

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Editar: como se mencionó en los comentarios, hay formas de hacer esto aún mejor. Para lograr una convergencia rápida, se utilizan trucos adicionales, como centrar la serie Taylor de manera diferente según la entrada o utilizar otras series de potencia. Esta es un área que se estudia en un campo conocido como Análisis Numérico.

Answer 2

Depende de lo caro que sea su computadora o calculadora.

Durante décadas pensé que siempre se usaba la representación de Taylor. Pero luego aprendí que, en calculadoras más baratas como los modelos TI-8x, se usa un algoritmo llamado “CORDIC”.

Según la página de Wikipedia de CORDIC: “CORDIC es generalmente más rápido que otros enfoques cuando no hay un multiplicador de hardware disponible”

y

“Por otro lado, cuando hay un multiplicador de hardware disponible ( por ejemplo , en un microprocesador DSP), los métodos de búsqueda de tablas y las series de potencia son generalmente más rápidos que CORDIC”

Answer 3

Alguien publicó una respuesta que sugiere que las calculadoras usan la expansión de la serie Maclaurin para calcular las funciones trigonométricas.

Considere el caso del arco sinusoidal.

Las calculadoras manuales de hoy calculan asin (x) a 10 o más dígitos decimales de precisión.

¿Cuántos términos de la expansión de la serie Maclaurin de asin (x) crees que tomaría calcular asin (0.999) a 10 dígitos decimales de precisión?

Esperaré mientras lo pruebas …

…

OK, entonces debe haber otra forma. Si busca en Quora con cuidado, encontrará la respuesta. Si no puede encontrarlo, deje un comentario y examinaré el historial de mi navegador y publicaré un enlace.

Answer 4

dentro de la calculadora es muy probable que se parezcan a su serie de potencia, limitada a un número menor de términos, con posiblemente algunos resultados listos

[matemáticas] \ sin (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ kx ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ kx ^ {2k}} {(2k)!} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tan (x) = \ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)} [/ matemáticas]

Answer 5

Dentro de una calculadora, estas funciones trigonométricas son probablemente solo parches de código, cuidadosamente diseñados para obtener el resultado correcto con el grado de precisión requerido.