Cómo demostrar que si a y b son números naturales tales que a + b es igual o mayor que 20, entonces a o b son iguales o mayores que 10

Answer 1

La mayoría de las otras respuestas usan pruebas por contradicción. Aquí hay otro enfoque:

Prueba (por casos) :

Caso 1: [matemáticas] a \ geq 10 [/ matemáticas]

En este caso, la afirmación es trivialmente verdadera, ya que [matemática] a \ geq 10 [/ matemática] implica que [matemática] a [/ matemática] o [matemática] b [/ matemática] son ​​mayores o iguales que [matemática] 10 [/matemáticas].

Caso 2: [matemáticas] a <10 [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow 20 \ leq a + b <10 + b [/ math]

[matemática] \ Rightarrow 10 + b-10> 20-10 [/ matemática]

[matemáticas] \ por lo tanto b> 10 [/ matemáticas]

Y nuevamente, la afirmación es cierta.

Como debe ser cierto que [math] a \ geq 10 [/ math] o [math] a <10 [/ math], hemos demostrado que la afirmación es verdadera en todos los casos. ∎

Answer 2

1. aЄN & a> 0 => min {a} = 1
2. bЄN & b> 0 => min {b} = 1
3. a + b = 20 => min {a} + max {b} = 20 => max {b} = 20- min {a} = 20–1 = 19
4. por simetría max {a} = 19
5. entonces se demuestra que a = {nЄ N / min {n} = 1 & max {n} = 19}

Answer 3

Una forma de hacerlo es con un gráfico. Puede trazar [math] b \ ge 20 – a, [/ math] y simplemente está interesado en el cuadrante positivo porque [math] a, b [/ math] son ​​naturales. Entonces verá que no hay pares [matemática] a, b [/ matemática] ambos menores de 10 en la región de la trama. Otra forma es darse cuenta de que si [matemática] a \ le 10, [/ matemática] entonces [matemática] b \ ge 20 – a \ ge 20-10 = 10, [/ matemática] y hacer lo mismo para [matemática] b , [/ math] obtienes que si uno de ellos es menor que 10, el otro es mayor con la igualdad cuando a = b = 10. [math] [/ math]

Answer 4

Prueba una prueba por contradicción.

Suponga que a y b son menos de 10.

Si eso es cierto, entonces su suma podría ser como máximo inferior a 20.

Esto no es cierto según lo dado.

Por lo tanto, la afirmación asumida es falsa y, como consecuencia, la afirmación que se ha de probar es verdadera.

Answer 5

Simplemente asuma que tanto a como b no son mayores que 9, y llegue a una contradicción. Esta contradicción produce que al menos uno de a y b sea mayor que 9.