Se puede encontrar un conjunto de soluciones exactas utilizando la función Lambert-W, que representa la función inversa de [math] f (x) = xe ^ x [/ math]. Veamos cómo podemos reorganizar esto para obtener una forma como [math] xe ^ x [/ math]:
[matemáticas] 25x = 5 ^ {x-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] 25x = \ dfrac {5 ^ x} {5} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {125x} {5 ^ x} = 1 [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ dfrac {125x} {e ^ {\ ln5 ^ x}} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 125x \ cdot e ^ {- x \ ln5} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x \ cdot e ^ {- x \ ln 5} = \ dfrac {1} {125} [/ matemáticas]
[matemáticas] -x \ ln 5 \ cdot e ^ {- x \ ln 5} = – \ dfrac {\ ln5} {125} [/ matemáticas]
Para aclarar, todas las manipulaciones hasta ahora han sido operaciones elementales básicas que utilizan propiedades de exponente y logaritmo. Sin embargo, ahora notará que tenemos el LHS en la forma [math] ae ^ a [/ math], donde [math] a = -x \ ln 5 [/ math]. Por lo tanto, si aplicamos la función Lambert-W a ambos lados, podemos resolver [math] -x \ ln 5 [/ math]:
[matemáticas] W (-x \ ln 5 \ cdot e ^ {- x \ ln 5}) = W \ left (- \ dfrac {\ ln5} {125} \ right) [/ math]
[matemáticas] -x \ ln 5 = W \ izquierda (- \ dfrac {\ ln5} {125} \ derecha) [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ dfrac {-W \ izquierda (- \ dfrac {\ ln5} {125} \ derecha)} {\ ln 5} [/ matemáticas]
Esta es la forma más simple para la solución: si desea una expansión decimal de las dos soluciones reales, puede usar Wolfram Alpha para ver sus valores (para la fórmula correcta, consulte a continuación):
[matemáticas] x_1 \ aprox 3.835214… [/ matemáticas]
[matemáticas] x_2 \ aprox. 0.008105040… [/ matemáticas]
Estas dos soluciones se pueden verificar gráficamente:
Desmos
Sin embargo, aunque estas son las soluciones reales, la periodicidad de la función exponencial sobre los valores complejos dicta que existen infinitos valores complejos para esta ecuación.
Esta es la fórmula correcta para cada solución (para encontrar valores múltiples, modifique el primer parámetro para que sean varios enteros, es decir: -1, 0, 1, etc.) en WolframAlpha:
(-ProductLog [0, (- ln (5) / 125)]) / (ln (5))
