¿Cómo integrará [math] \ displaystyle \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {8} x \: \ mathrm {d} x [/ math]?

Answer 1

Primero tenga en cuenta que,

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ 8 \ theta = 2 \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ 8 \ theta \, \ , \, \, \ text {(Función par)} [/ math]

Ahora usando la conocida función Beta,

[matemáticas] \ displaystyle 2 \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ {2m-1} \ theta \ cos ^ {2n-1} \ theta d \ theta = \ beta (m, n) [ /matemáticas]

Al elegir [math] m = \ dfrac {1} {2} [/ math] y [math] n = \ dfrac {9} {2} [/ math] tenemos,

[matemáticas] \ displaystyle 2 \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ 8 \ theta \, d \ theta = \ beta \ left (\ dfrac {1} {2}, \ dfrac {9} { 2} \ right) [/ math]

Ahora, usando la conocida relación entre las funciones Beta y Gamma,

[matemáticas] \ beta (m, n) = \ dfrac {\ Gamma (m) \ Gamma (n)} {\ Gamma (m + n)} \ tag * {} [/ matemáticas]

Obtenemos,

[matemáticas] \ begin {align} \ beta \ left (\ dfrac {1} {2}, \ dfrac {9} {2} \ right) & = \ dfrac {\ Gamma \ left (\ dfrac {1} {2 } \ right) \ Gamma \ left (\ dfrac {9} {2} \ right)} {\ Gamma (5)} \\ & = \ dfrac {\ sqrt {\ pi} \ cdot \ dfrac {105 \ sqrt { \ pi}} {16}} {24} \\ & = \ dfrac {35 \ pi} {128} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Tenga en cuenta que:

• [matemáticas] \ Gamma \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) = \ sqrt {\ pi} [/ math]
• [matemáticas] \ Gamma (n + 1) = n \ Gamma (n) \, \, \ forall \, n> 1 [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {8} x = 2 \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {8} x [ /matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ dfrac {7 * 5 * 3 * 1 * \ pi} {8 * 6 * 4 * 2 * 2} = \ en caja {\ dfrac {35 \ pi} {128}} [/ matemáticas]

Fórmula utilizada

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {2n} x = \ dfrac {(2n-1) (2n-3)… .3 * 1} {2n (2n-2 ) …… .4 * 2} * \ dfrac {\ pi} 2 [/ math]

Fórmulas relacionadas

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {2n + 1} x = \ dfrac {(2n) (2n-2)… .6 * 4 * 2} {(2n + 1) (2n-1) …… .5 * 3 * 1} [/ matemáticas]

Fórmula combinada

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {n} x = \ dfrac {(n-1) (n-3)… .3 * 1} {n (n-2 ) …… .4 * 2} * \ left (\ dfrac {\ pi} 2 \ right) ^ {(n + 1) \ mathrm {mod} 2} [/ math]

Answer 3

Una forma es utilizar la integración por partes para derivar una relación de recurrencia. Dejar

[matemáticas] \ begin {ecation} \ tag * {} \ displaystyle I (n) = \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ nx \, \ mathrm {d} x \ end {ecuación} [/ matemáticas]

Desglose el integrando como [math] u \, \ mathrm {d} v [/ math] donde [math] u = \ cos ^ {n-1} (x) [/ math] y [math] \ mathrm {d } v = \ cos x \, \ mathrm {d} x [/ math]. Entonces

[matemáticas] \ begin {align} I (n) & = \ left [uv \ right] _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} – \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} v \, \ mathrm {d} u \\ & = \ left [\ cos ^ {n-1} x \ sin x \ right] _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} – \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi2} \ sin x (- (n-1) \ cos ^ {n-2} x \ sin x) \, \ mathrm {d} x \\ & = 0 + (n-1) \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {n-2} x \ sin ^ 2 x \, \ mathrm {d} x \\ & = (n -1) \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {n-2} x (1 – \ cos ^ 2 x) \, \ mathrm {d} x \\ & = ( n-1) (I (n-2) – I (n)) \ end {align} [/ math]

Reorganizar da [matemáticas] I (n) = \ frac {n-1} {n} I (n-2) [/ matemáticas]. Obviamente [matemáticas] I (0) = \ pi [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] I (8) = \ frac {7} {8} \ frac {5} {6} \ frac {3} {4} \ frac {1} {2} \ pi = \ frac {35} { 128} \ pi [/ matemáticas].

Answer 4

Utilizaría el hecho de que [math] \ cos (2x) = 2 \ cos ^ 2x-1 [/ math], también conocido como [math] \ cos ^ 2x = \ frac {\ cos (2x) +1} {2} [/ matemáticas], varias veces. Use eso para reescribir su cos ^ 8, luego tendrá que expandir el cuarto poder de un binomio, obteniendo los diversos poderes de [math] \ cos (2x) [/ math]. Para potencias pares de los mismos, vuelva a aplicar la fórmula. Para poderes extraños, usa la identidad trigonométrica fundamental. Si recuerdo mañana, volveré para dar más detalles. Escribirlos desde mi móvil sería horrible, además es casi medianoche. Así que buenas noches. Si desea mejorar las posibilidades de que agregue tales detalles, puede considerar comentar sobre esto dentro de 10 horas a partir de ahora, para que el aviso me lo recuerde :).

Aquí estoy de vuelta :). Entonces:

[matemáticas] \ begin {align *} \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} \ cos ^ 8 (x) dx = {} & \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} \ left (\ frac {1+ \ cos (2x)} {4} \ right) ^ 4 = {} \\ {} = {} & \ frac {1} {16} \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} [1 + 4 \ cos (2x) +6 \ cos ^ 2 (2x) +4 \ cos ^ 3 (2x) + \ cos ^ 4 (2x)] dx = {} \\ {} = {} & \ frac {\ pi} {16} + \ left [\ frac18 \ sin (2x) \ right] _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} + \ frac { 3} {8} \ cdot \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} \ frac {1+ \ cos (4x)} {2} dx + {} \\ & {} + \ frac14 \ cdot \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} [1- \ cos ^ 2 (2x)] \ sin (2x) dx + {} \\ & {} + \ frac {1} {16} \ cdot \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} \ left (\ frac {1+ \ cos (4x)} {2} \ right) ^ 2dx = {} \\ {} = {} & \ frac {\ pi} {16} +0+ \ frac {3} {16} \ cdot \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} [1+ \ cos (4x)] dx + {} \\ & {} + \ frac14 \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} \ sin (2x) dx- \ frac14 \ cdot \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2 } \ cos ^ 2 (2x) \ sin (2x) dx + {} \\ & {} + \ frac {1} {64} \ cdot \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} [1 +2 \ cos (4x) + \ cos ^ 2 (4x)] dx = {} \\ {} = {} & \ frac {\ pi} {16} + \ frac {3} {16} \ pi + \ frac {3} {16} \ left [\ frac14 \ sin (4x) \ right] _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} +0+ {} \\ & {} – \ frac14 \ cdot \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ f rac \ pi2} \ frac {d} {dx} \ left [- \ frac16 \ cos ^ 3 (2x) \ right] dx + \ frac {\ pi} {64} + {} \\ & {} + \ frac { 1} {32} \ cdot \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} \ frac14 \ sin (4x) dx + \ frac {1} {64} \ cdot \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} \ frac {1+ \ cos (8x)} {2} dx = {} \\ {} = {} & \ frac \ pi4 + 0 + \ frac {1} {24} \ left [\ cos ^ 3 (2x) \ right] _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} dx + \ frac {\ pi} {64} + {} \\ & {} + 0+ \ frac { \ pi} {128} + \ frac {1} {128} \ cdot \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} \ cos (8x) dx. \ end {align *} [/ math]

Confío en que puedas tomarlo desde allí. Si quieres que complete la solución, solo comenta.

Answer 5

[matemáticas] cos x = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \\ cos ^ 8 x = (\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} { 2}) ^ 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) ^ 8 = {8 \ elegir 0} (a ^ 8 + b ^ 8) + {8 \ elegir 1} (a ^ 7b + ab ^ 7) + \ cdots \\\ frac { 1} {2 ^ 8} ({8 \ elegir 0} (e ^ {8ix} + e ^ {- 8ix}) + {8 \ elegir 1} (e ^ {6ix} + e ^ {- 6ix}) + \ cdots) [/ math]

Cuando expandimos eso obtendremos … [matemáticas] a_0 + a_2 \ cos 2x + a_4 \ cos 4x + a_6 \ cos 6x + a_8 \ cos 8x [/ matemáticas]

pero

[matemáticas] \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos nx = 0 [/ matemáticas]

Solo nos importa el término constante en la expansión.

[matemáticas] \ frac {35} {128} \ pi [/ matemáticas]

Answer 6

[matemáticas] I = \ int _ {- \ dfrac {\ pi} {2}} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ cos ^ 8x \, dx = 2 \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ cos ^ 8x \, dx [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {I} {2} = \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ cos ^ 8x \, dx = \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ sin ^ 8x \, dx [/ math] a través de [math] \ int_ {b} ^ {a} f (x) \, dx = \ int_ {b} ^ {a} f (a + bx) \, dx [/matemáticas]

[matemáticas] I = \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ sin ^ 8 x + \ cos ^ 8x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ sin ^ 8 x + 2 \ sin ^ 4x \ cos ^ 4x + \ cos ^ 8x-2 \ sin ^ 4x \ cos ^ 4x \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} (\ sin ^ 4x + \ cos ^ 4x) ^ 2-2 \ sin ^ 4x \ cos ^ 4x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} (\ sin ^ 4x + \ cos ^ 4x) ^ 2-4 \ sin ^ 4x \ cos ^ 4x + 2 \ sin ^ 4x \ cos ^ 4x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} (\ sin ^ 4x + 2 \ sin ^ 2x \ cos ^ 2x + \ cos ^ 4x) (\ sin ^ 4x-2 \ sin ^ 2x \ cos ^ 2x + \ cos ^ 4x) +2 \ sin ^ 4x \ cos ^ 4x \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} (\ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x) ^ 2 (\ sin ^ 2x- \ cos ^ 2x) ^ 2 + 2 \ sin ^ 4x \ cos ^ 4x \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ cos ^ 22x + 2 \ sin ^ 4x \ cos ^ 4x \, dx [/ matemáticas]

[math] = \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ cos ^ 22x + \ dfrac {\ sin ^ 42x} {8} \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {16} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} 16 \ cos ^ 22x + 2 \ sin ^ 42x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {16} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} 16 \ cos ^ 22x-8 + 8 + 2 \ sin ^ 42x- \ sin ^ 22x + \ sin ^ 22x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {16} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} 8 \ cos 2x + 8- \ sin ^ 22x \ cos 4x + \ sin ^ 22x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ cos 2x + 1 \, dx + \ dfrac {1} {32} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ cos 4x-2 \ sin ^ 22x \ cos 4x- \ cos 4x \, dx + \ dfrac {1} {32} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} 2 \ sin ^ 22x-1 + 1 \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ cos 2x + 1 \, dx + \ dfrac {1} {32} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ cos ^ 24x- \ cos 4x \, dx + \ dfrac {1} {32} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} 1- \ cos 4x \, dx [/matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ cos 2x + 1 \, dx + \ dfrac {1} {64} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} 2 \ cos ^ 24x-1 + 1 \, dx- \ dfrac {1} {32} \ int_ {0} ^ {\ dfrac {\ pi} {2}} \ cos 4x \ , dx + \ dfrac {1} {32} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} 1- \ cos 4x \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ cos 2x + 1 \, dx + \ dfrac {1} {64} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} \ cos 8x + 1 \, dx- \ dfrac {1} {32} \ int_ {0} ^ {\ dfrac {\ pi} {2}} \ cos 4x \, dx + \ dfrac {1} {32} \ int_ {0} ^ \ dfrac {\ pi} {2} 1- \ cos 4x \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} [\ dfrac {\ sin 2x} {2} + x] _ {0} ^ {\ dfrac {\ pi} {2}} + \ dfrac {1} {64 } [\ dfrac {\ sin 8x} {8} + x] _ {0} ^ {\ dfrac {\ pi} {2}} – \ dfrac {1} {32} [\ dfrac {\ sin 4x} {4 }] _ {0} ^ {\ dfrac {\ pi} {2}} + \ dfrac {1} {32} [x- \ dfrac {\ sin 4x} {4}] _ {0} ^ {\ dfrac { \ pi} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {\ pi} {4} + \ dfrac {\ pi} {128} + \ dfrac {\ pi} {64} [/ matemáticas]

Answer 7

Prueba la identidad de Euler:

[matemáticas] \ cos 8x = \ dfrac {e ^ {8ix} + e ^ {- 8ix}} {2} [/ matemáticas]

Luego, levántelo a la potencia requerida y realice una expansión binomial.

Ejemplo:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} \ cos ^ 3 (x) & = \ dfrac {\ left (e ^ {ix} + e ^ {- ix} \ right) ^ 3} {8} \\ & = \ dfrac {e ^ {3ix} + 3e ^ {ix} + 3e ^ {- ix} + e ^ {- i3x}} {8} \\ & = \ dfrac {e ^ {3ix} + e ^ {- 3ix }} {8} + 3 \ cdot \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {8} \\ & = 2 \ cdot \ dfrac {\ cos (3x)} {8} + 6 \ cdot \ dfrac {\ cos (x)} {8} \\ & = \ boxed {\ dfrac {\ cos (3x)} {4} + 3 \ cdot \ dfrac {\ cos (x)} {4}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Estoy seguro de que puedes tomarlo desde allí.

Espero que esto ayude.

Answer 8

Mediante el uso de fórmula de reducción y solbe …