¿Cómo resolver para [matemáticas] x [/ matemáticas] en lo siguiente? [matemáticas] 2 \ sen x = \ cos (x-45 ^ \ circ) [/ matemáticas]

Answer 1

Siempre que vea funciones trigonométricas centradas en diferentes valores, debe pensar en la fórmula de adición de ángulos. Para el coseno que es

[matemáticas] \ cos (a + b) = \ cos a \ cos b – \ sin a \ sin b [/ matemáticas]

En este caso:

[matemáticas] \ cos (x – 45 ^ \ circ) = \ cos x \ cos (-45 ^ \ circ) – \ sen x \ sin (-45 ^ \ circ) = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} \ left (\ cos x + \ sin x \ right) [/ math]

Entonces la ecuación original se reduce a

[matemáticas] 2 \ sen x = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left (\ cos x + \ sin x \ right) [/ math]

Puede llevar [math] \ sin x [/ math] al otro lado y luego escribir esto como una tangente

[matemáticas] \ tan x = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ frac {1} {2 – \ frac {1} {\ sqrt {2}}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {2} -1} [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] x = \ arctan \ frac {1} {2 \ sqrt {2} -1} [/ matemáticas]

que no tengo una respuesta angular simple.

Answer 2

[matemáticas] 2 \ sin x = \ cos (x – 45 ^ \ circ) = \ cos x \ cos 45 ^ \ circ + \ sin x \ sin 45 ^ \ circ [/ matemáticas]

[matemáticas] (2 – \ sin 45 ^ \ circ) \ sin x = \ cos x \ cos 45 ^ \ circ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tan x = \ dfrac {\ cos 45 ^ \ circ} {2 – \ sin 45 ^ \ circ} = \ dfrac {1 / \ sqrt {2}} {2 – 1 / \ sqrt {2}} = \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2} -1} [/ math]

[matemáticas] x = \ textrm {arccot} (2 \ sqrt {2} -1) \ aprox 28.68 ^ \ circ [/ matemáticas] (o [matemáticas] 208.68 ^ \ circ.) [/ matemáticas]

Podemos agregar múltiplos de [math] 360 ^ \ circ [/ math] para obtener más soluciones.

Answer 3

2sinx = cos x cos 45 ° + sinx. sen 45 ^ =>

2 senx / cos x = cos 45 ° + sinx sin45 ° / cos x

=> 2 tan x = sqrt (2) / 2 + tanx. sqrt (2) / 2

=> tanx (2- sqrt (2) / 2) = (sqrt (2) / 2).

=> tanx = {sqrt (2) / 2} / {2-sqrt (2)}

tanx = {2+ sqrt (2)} 2. Sqrt (2) / {4–2) = sqrt (2). {2+ sqrt (2)} = 2sqrt (2) + 2 = 2 (1 + sqrt (2))

X = Arctan {2 (1 + sqrt (2)} + k π