¿Por qué el máximo exponente en el polinomio es el grado? ¿Cuál es el punto de identificar esto?

Answer 1

A2A

Es útil por las siguientes razones

1. Conocer el número de soluciones, que es igual al grado más alto de la ecuación polinómica. Las soluciones pueden ser reales y distintas, reales y repetidas, complejas y distintas, complejas y repetidas, o una combinación de estas.
2. Trazar una forma aproximada de una función polinómica a mano. Si el grado es impar, entonces la gráfica de la función debe intersecar el eje x al menos una vez (un lado va al infinito positivo y el otro al infinito negativo). Si el grado es par, ambos lados de la gráfica van al infinito positivo o al infinito negativo para valores extremos de x. Esto significa que todo el gráfico puede estar sobre el eje x, debajo de él o en intersección. La forma del gráfico también está determinada por el signo del coeficiente del polinomio con el máximo exponente.
3. Crecimiento de funciones polinomiales. Si está evaluando los límites de una fracción de polinomios cuando x va al infinito, entonces necesita saber el grado de numerador y denominador. Un polinomio con mayor grado crece más rápido que un polinomio con menor grado. Como resultado, el valor del polinomio con menor grado se vuelve insignificante a medida que x llega al infinito. Cuando x va a cero, un polinomio con mayor grado se acerca a 0 a una velocidad más rápida.
4. Conocer el grado nos permite representar vectores en el software de Matlab como polinomios. En consecuencia, podemos encontrar sus raíces o trazarlo.

Answer 2

A2A, gracias.

El grado del polinomio determina la tasa de crecimiento asintótico del polinomio a medida que el argumento tiende al infinito positivo o negativo. La tasa de crecimiento asintótica en el infinito juega un papel en muchas áreas matemáticas y adyacentes:

• Álgebra:

• el grado del polinomio nos dice si existe una fórmula general para expresar las raíces en radicales: teorema de Abel-Ruffini – Wikipedia.
• el grado del polinomio nos da la dimensión de los espacios vectoriales compuestos por los polinomios de ese grado o menos. (Los espacios vectoriales, a su vez, están en todas partes en matemáticas, física e ingeniería).
• Busque la frase “polinomio característico”.

PDEs:

• Desaparecer en el infinito – Wikipedia (uno establece que la función “desaparece en el infinito” al compararla con una expresión de la forma 1 / (1 + | polinomio |)).
• Símbolo de un operador diferencial: Wikipedia se estudia utilizando el polinomio característico de ese PDE, y el grado del polinomio determina el comportamiento de las soluciones PDE.

Física (y la maquinaria matemática involucrada): la escala de una función homogénea – Wikipedia está determinada por el grado de homogeneidad de las funciones.

Análisis de algoritmos: el costo computacional de un algoritmo a medida que el tamaño del problema aumenta hasta el infinito: notación Big O – Wikipedia

Análisis numérico: los polinomios son a veces una excelente herramienta para aproximar la función buscada. Queremos que el grado del polinomio sea lo más bajo posible. Sin embargo, no queremos que nuestra aproximación pierda precisión. El grado que alcanza un equilibrio entre estos dos objetivos se puede determinar exactamente, en función del problema: interpolación de Hermite – Wikipedia (ver también los enlaces en “Ver también” :).

Busque la palabra “grado” en este artículo: polinomio Alexander – Wikipedia.

Espero haber dado suficiente evidencia de que el grado de un polinomio merece existir y recibir atención. 🙂

Answer 3

Por definición. El título no se trata de qué tan caliente hace en el aula. Más bien, el grado de un polinomio es el valor numérico del máximo exponente contenido en cualquier término del polinomio. Identificamos esto porque el grado indica el número máximo de soluciones (o raíces, o ceros) contenidas en el polinomio.

Soooo … Una ecuación cuadrática es un polinomio en el que el término ordenado más alto tiene exponente de 2, un grado de 2 y 0, 1 o 2 soluciones. (Soluciones reales: no discutir las raíces imaginarias aquí).

Una ecuación cúbica es un polinomio en el que el término ordenado más alto tiene un exponente de 3, grado de 3 y 1, 2 o 3 soluciones. Le dejo al lector explorar la naturaleza de una ecuación cúbica para satisfacer la pregunta frecuente de por qué una ecuación cuadrática no puede tener soluciones, pero una ecuación cúbica DEBE tener al menos una. (Sugerencia: examine los gráficos de estos polinomios).

Answer 4

El máximo exponente es el grado del polinomio según la definición.

En el caso de ecuaciones polinómicas, el grado indica el número de soluciones para la variable.

Answer 5

Conocer el título tiene varios usos, uno de los cuales es el más importante.

El teorema fundamental del álgebra que establece

Cualquier polinomio de grado n tiene n raíces