¿Qué es [matemáticas] h [/ matemáticas] en la función [matemáticas] h (h (x)) = x ^ 2-1 [/ matemáticas]?

Answer 1

No existe [math] h [/ math] (suponiendo que [math] h [/ math] es de [math] \ mathbb {R} [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math]) . Por ahora, suponga que [math] h [/ math] existe. Es útil aplicar [matemáticas] h [/ matemáticas] a ambos lados de la ecuación funcional dada (que llamaré la ecuación funcional alterada):

[matemáticas] h (x ^ 2 – 1) = h (h (h (x))) = h (x) ^ 2 – 1 [/ matemáticas].

Recuerde la proporción áurea [math] \ varphi = \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} [/ math] y su conjugado [math] \ bar {\ varphi} = \ frac {1 – \ sqrt {5 }} {2} [/ math], las dos raíces del polinomio [math] x ^ 2 – x – 1 [/ math]. Ya sea [math] h (\ varphi) = \ varphi [/ math] o [math] h (\ varphi) = [/ math] [math] \ bar {\ varphi} [/ math]. ¿Por qué? Al conectar [math] \ varphi [/ math] en la ecuación funcional alterada se obtiene [math] h (\ varphi) = h (\ varphi ^ 2 – 1) = h (\ varphi) ^ 2 – 1 [/ math]. Esto muestra que [math] h (\ varphi) [/ math] en sí es una raíz de [math] x ^ 2 – x – 1 [/ math]. El mismo argumento es válido para [math] h (\ bar {\ varphi}) [/ math].

Además, [math] \ varphi [/ math] y [math] \ bar {\ varphi} [/ math] son ​​los únicos candidatos para puntos fijos de [math] h [/ math]. (Si [matemática] x = h (x) [/ matemática] es un punto fijo, entonces a través de la ecuación funcional original: [matemática] x ^ 2 – 1 = h (h (x)) = h (x) = x [/matemáticas]. )

Además, estos son los únicos puntos que evalúan a [math] \ varphi [/ math] o [math] \ bar {\ varphi} [/ math]. Para ver esto, suponga que [math] h (a) = \ varphi [/ math]. Entonces, [math] a ^ 2 – 1 = h (h (a)) = h (\ varphi) [/ math] que mostramos es [math] \ varphi [/ math] o [math] \ bar {\ varphi} [/ math]. El argumento es análogo para [math] h (a) = \ bar {\ varphi} [/ math].

A continuación, intentemos enchufar 0 y -1 en la ecuación funcional alterada. Obtenemos [matemáticas] h (-1) = h (0) ^ 2 – 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] h (0) = h (-1) ^ 2 – 1 [/ matemáticas]. Es sencillo resolver este sistema de dos ecuaciones para ver que uno de los siguientes debe cumplir:

1. [matemáticas] h (0) = 0, h (-1) = -1 [/ matemáticas]
2. [matemáticas] h (0) = -1, h (-1) = 0 [/ matemáticas]
3. [matemáticas] h (0) = h (-1) = \ varphi [/ matemáticas]
4. [matemáticas] h (0) = h (-1) = \ bar {\ varphi} [/ matemáticas]

El caso 1 no puede ocurrir, ya que demostramos que [math] \ varphi [/ math] y [math] \ bar {\ varphi} [/ math] son ​​los únicos candidatos para puntos fijos de [math] h [/ math]. El caso 2 no puede ocurrir ya que contradice la ecuación funcional original (¡verifique esto!). Los casos 3 y 4 no pueden ocurrir ya que mostramos que los únicos números que pueden mapearse a [math] \ varphi [/ math] y [math] \ bar {\ varphi} [/ math] son ​​ellos mismos. Uno de los casos debe ser válido, pero ninguno lo es, por lo que tenemos una contradicción. QED

Answer 2

Este es un escenario simple de composición de funciones. Se puede decir que “h de h de x es igual a x al cuadrado menos uno”. Entonces, para encontrar la h (x), esto debe descomponerse o debe ocurrir una descomposición de la función. Para esto, uno necesita identificar los ocho tipos de funciones comunes y con las transformaciones de funciones básicas.

La función original será: lineal , polinomial , cuadrada (cuadrática) , valor absoluto, raíz cuadrada , racional , seno o coseno .

PD: no voy a resolver la tarea. 🙂

Answer 3

No puede haber tal función porque el orden de x no es 1. Por favor, corrígeme si estoy equivocado ya que no sé muchas matemáticas.

La razón por la que llegué a esta conclusión es la siguiente:

[matemáticas] h (h (x)) = x ^ 2-1 \ etiqueta 1 [/ matemáticas]

Al usar la regla de la cadena tenemos

[matemáticas] \ dfrac {dh (h (x))} {dx} = \ dfrac {d (x ^ 2-1)} {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {dh (x)} {dx} = 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dh (x)} {dx} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica h = x + n \ etiqueta 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] h (h (x)) \ overset {(1)} {=} x ^ 2 – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] h (h (x)) \ overset {(2)} {=} h (x + n) \ overset {(2)} {=} 2n + x [/ math]

[matemáticas] x ^ 2 – 1 = 2n + x [/ matemáticas]

Y esta ecuación no se puede resolver porque [math] n [/ math] es un valor fijo y el dominio [math] h (x) [/ math] es [math] \ mathbb R [/ math].

Answer 4

Eso denota una función de x.

La ecuación que publicó significa que si aplica el proceso h a x, y luego aplica el proceso h al resultado, sería equivalente a multiplicar x por sí mismo y luego restar uno.