En la escuela secundaria, se escribió la fórmula cuadrática y se dijo que el contenido de la raíz cuadrada era el discriminante. Sin embargo, para derivarlo, necesitamos la definición del discriminante de un polinomio. Para el polinomio
[matemáticas] {a_n} {x ^ n} + {a_ {n – 1}} {x ^ {n – 1}} + {a_ {n – 2}} {x ^ {n – 2}} +… + {a_0} [/ math]
el discriminante se define como
[matemática] a_n ^ {(2n – 2)} \ prod \ limits_ {i <j} ^ n {{{({r_i} – {r_j})} ^ 2}} [/ matemática]
- ¿Cómo integraría [math] [/ math] [math] \ displaystyle \ int \ frac {1} {(x ^ 4 + x ^ 2 + 1)} dx [/ math]?
- ¿Cómo diferenciar f (x) = 1, utilizando los primeros principios?
- ¿Por qué es que [matemáticas] c ^ 2 = (a + b) ^ 2 [/ matemáticas] es aproximadamente igual a [matemáticas] c = \ dfrac {c ^ 2-a ^ 2} {2a} [/ matemáticas]?
- Cómo demostrar que si a y b son números naturales tales que a + b es igual o mayor que 20, entonces a o b son iguales o mayores que 10
- ¿Cómo integrará [math] \ displaystyle \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {8} x \: \ mathrm {d} x [/ math]?
Los detalles de esta definición son los siguientes. [math] a_n [/ math] es solo el coeficiente principal. La mayúscula [matemática] \ pi [/ matemática], [matemática] \ prod {} [/ matemática] significa multiplicar, así como [matemática] \ sum {} [/ matemática] significa sumar. Lo que multiplica es el cuadrado de la diferencia de las raíces del polinomio.
Para una cuadrática con raíces [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas], tenemos
[matemáticas] {a ^ 2} {(p – q) ^ 2} = {a ^ 2} \ left ({{p ^ 2} – 2pq + {q ^ 2}} \ right) [/ math]
Pero esto es
[matemáticas] a ^ 2 \ left ({\ left ({p + q {) ^ 2} + 4pq} \ right)} \ right) [/ math]. Sin embargo,
Pero tenemos [math] p + q = – \ frac {b} {a} [/ math] y [math] pq = \ frac {c} {a} [/ math].
Sustituyendo, el discriminante es
[matemáticas] {a ^ 2} \ left ({{{\ left ({\ frac {b} {a}} \ right)} ^ 2} – \ frac {{4c}} {a}} \ right) = {b ^ 2} – 4ac [/ matemáticas].