¿Cómo integraría [math] [/ math] [math] \ displaystyle \ int \ frac {1} {(x ^ 4 + x ^ 2 + 1)} dx [/ math]?

Answer 1

Esto ha estado en la pestaña de borradores, así que pensé en seguir adelante y terminar lo que comencé.

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Esta integral se puede reescribir como una suma de dos fracciones parciales distintas, así:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} \ frac 1 {1 + x ^ 2 + x ^ 4} & = \ frac 12 \ left (\ frac {1-x} {1-x + x ^ 2} + \ frac {1 + x} {1 + x + x ^ 2} \ right) \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Integrar cada fracción parcial y luego sumar los dos resultados da la solución. Distribuyendo la integral y etiquetándolas [matemáticas] I_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] I_2 [/ matemáticas] respectivamente, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ frac {\ mathrm dx} {1 + x ^ 2 + x ^ 4} = \ frac 12 \ Biggr (\ space \ underbrace {\ int \ frac {1-x} {1 -x + x ^ 2} \, \ mathrm dx} _ {I_1} + \ underbrace {\ int \ frac {1 + x} {1 + x + x ^ 2} \, \ mathrm dx} _ {I_2} \ espacio \ Biggr) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

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Para simplificar [matemáticas] I_1 [/ matemáticas], reescribimos la fracción como la diferencia de dos fracciones y completamos el cuadrado en una de ellas.

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} \ int \ frac {1-x} {1-x + x ^ 2} \, \ mathrm dx & = \ int \ frac 1 {2 (1-x + x ^ 2)} – \ frac {2x-1} {2 (1-x + x ^ 2)} \, \ mathrm dx \\ & = \ frac 12 \ int \ frac {\ mathrm dx} {\ left (x- \ tfrac 12 \ right) ^ 2 + \ tfrac 34} – \ frac 12 \ log (1-x + x ^ 2) \\ & = \ frac 12 \ int \ frac {\ mathrm du} {u ^ 2 + \ tfrac 34} – \ frac 12 \ log (1-x + x ^ 2) \\ & = \ frac 1 {\ sqrt3} \ arctan \ left (\ frac {2x-1} {\ sqrt3} \ right) – \ frac 12 \ log (1-x + x ^ 2) \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

De manera similar, con [math] I_2 [/ math], lo dividimos en dos fracciones parciales diferentes e integramos en términos de términos. Haciendo todo mentalmente, mágicamente obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1 + x} {1 + x + x ^ 2} \, \ mathrm dx = \ frac 1 {\ sqrt3} \ arctan \ left (\ frac {2x + 1} {\ sqrt3} \ right) + \ frac 12 \ log (1 + x + x ^ 2) \ tag * {} [/ math]

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Por lo tanto, después de distribuir [math] \ tfrac 12 [/ math] en nuestros resultados, tenemos la respuesta como

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {I = \ frac 1 {2 \ sqrt3} \ arctan \ left (\ frac {2x + 1} {\ sqrt3} \ right) + \ frac 1 {2 \ sqrt3} \ arctan \ left (\ frac {2x-1} {\ sqrt3} \ right) + \ frac 14 \ log \ left (\ frac {1 + x + x ^ 2} {1-x + x ^ 2} \ right)} \ tag *{}[/matemáticas]

La confirmación se puede dar con Wolfram Alpha.

Answer 2

Esta es la solucion

[matemáticas] \ dfrac {\ ln \ left (\ left | x ^ 2 + x + 1 \ right | \ right) – \ ln \ left (\ left | x ^ 2-x + 1 \ right | \ right)} {4} + \ dfrac {\ arctan \ left (\ frac {2x + 1} {\ sqrt {3}} \ right) + \ arctan \ left (\ frac {2x-1} {\ sqrt {3}} \ derecha)} {2 \ cdot \ sqrt {3}} [/ math]

Ahora , déjame resolverlo.

[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac {1} {(x ^ 4 + x ^ 2 + 1)} & = \ frac {1} {(x ^ 2 − x + 1) (x ^ 2 + x + 1)} \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {x + 1} {(x ^ 2 + x + 1)} – \ frac {x − 1} {x ^ 2 − x +1} \ right) \ end {align} [/ math]

Resolviendo

[matemáticas] \ begin {align} \ int \ frac {1} {2} \ left (\ frac {x + 1} {(x ^ 2 + x + 1)} \ right) \, dx \\ & = \ int \ left (\ frac {(2x + 1)} {4 (x ^ 2 + x + 1)} + \ frac {1} {4 (x ^ 2 + x + 1)} \ right) \, dx \ \ & = \ int \ left (\ frac {(2x + 1)} {2 (x ^ 2 + x + 1)} \ right) \, dx + \ int \ left (\ frac {1} {2 (x ^ 2 + x + 1)} \ right) \, dx \\ & = \ frac {1} {4} \ ln (x ^ 2 + x + 1) + \ frac {1} {2} \ int \ left ( \ frac {1} {x ^ 2 + x + 1} \ right) \, dx \\ & = \ qquad \ qquad \ qquad + \ frac {1} {2} \ int \ left (\ frac {1} { (x + \ frac {1} {2}) ^ 2+ \ frac {3} {4}} \ right) \, dx \\ & = \ frac {1} {4} \ ln (x ^ 2 + x + 1) + \ dfrac {\ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2x + 1} {\ sqrt {3}} \ right)} {2 \ sqrt {3}} \ tag {1} \ end { alinear} [/ math]

Resolviendo

[matemáticas] \ begin {align} \ int \ left (\ frac {x − 1} {2 (x ^ 2 − x + 1)} \ right) \, dx \\ & = \ int \ left (\ frac { 2x − 1} {4 (x ^ 2 − x + 1)} – \ frac {1} {4 (x ^ 2 − x + 1)} \ right) \, dx \\ & = \ frac {1} { 4} \ ln (x ^ 2 − x + 1) – \ frac {1} {4} \ int \ left (\ frac {1} {(x- \ frac {1} {2}) ^ 2+ \ frac {3} {4}} \ right) \, dx \\ & = \ qquad \ qquad \ qquad- \ dfrac {\ arctan (\ frac {2x-1} {\ sqrt {3}})} {2 \ sqrt {3}} \\ & = \ frac {1} {4} \ ln (x ^ 2 − x + 1) – \ dfrac {\ arctan (\ frac {2x-1} {\ sqrt {3}})} {2 \ sqrt {3}} \ tag {2} \ end {align} [/ math]

FINALMENTE,

De [math] (1) \ text {&} (2) \ text {obtenemos} [/ math]

[matemáticas] \ boxed {\ dfrac {\ ln \ left (\ left | x ^ 2 + x + 1 \ right | \ right) – \ ln \ left (\ left | x ^ 2-x + 1 \ right | \ derecha)} {4} + \ dfrac {\ arctan \ left (\ frac {2x + 1} {\ sqrt {3}} \ right) + \ arctan \ left (\ frac {2x-1} {\ sqrt {3 }} \ right)} {2 \ cdot \ sqrt {3}}} [/ math]

Este es un cálculo muy tedioso, ¡maldición !, me duele la espalda.

¡Saludos!

VM

Answer 3

Parece que está pidiendo fracciones parciales para jugar. Para hacerlo, necesitamos factorizar el fondo. Observe que la parte inferior es [matemáticas] x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1-x ^ 2 = ((x ^ 2 + 1) -x) ((x ^ 2 + 1 + x)) = (x ^ 2- x + 1) (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas] Ah. Factorizado Ahora puede escribir [matemáticas] \ dfrac {1} {(x ^ 2-x + 1) (x ^ 2 + x + 1)} = \ dfrac {Ax + B} {x ^ 2-x + 1} + \ dfrac {Cx + D} {x ^ 2 + x + 1}. [/ math]

Después de haber encontrado A, B, C y D, continúe como en la solución de Frank Wei.