¿Cómo diferenciar f (x) = 1, utilizando los primeros principios?

Answer 1

Además de la respuesta de Joseph, podemos probar que [matemáticas] \ lim \ limita _ {\ Delta x \ to0} 0 = 0 [/ matemáticas] desde los primeros principios.

Esa declaración es equivalente a decir que para cualquier [math] \ varepsilon> 0 [/ math], podemos encontrar algo de [math] \ delta> 0 [/ math] tal que por cada [math] x [/ math] en el región apropiada, [math] | x-0 | <\ delta [/ math] implica que [math] | x-0 | <\ varepsilon [/ math].

Para probar esto, elija un arbitrario [math] \ varepsilon> 0 [/ math], y elija [math] \ delta = \ varepsilon [/ math]. Entonces si [math] | x | <\ delta [/ math], claramente [math] | x | <\ varepsilon [/ math].

Así que ahora tenemos una forma formulada de encontrar un [math] \ delta [/ math] dado cualquier [math] \ varepsilon [/ math]: simplemente establezca [math] \ delta = \ varepsilon [/ math]. Así que hemos demostrado que el límite es [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

Answer 2

Gracias por el A2A!

Use la definición de una derivada:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} = \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ frac {1-1} { h} = \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ frac {0} {h} = \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} 0 = 0 [/ math]

QED

Answer 3

Es bastante fácil. Aquí está el detalle:

[matemáticas] f ‘(x) [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {Δx \ to 0} \ dfrac {f (x + Δx) – f (x)} {Δx} [/ math]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {Δx \ to 0} \ dfrac {1 – 1} {Δx} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {Δx \ a 0} 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 0 [/ matemáticas]

QED