¿Por qué es que [matemáticas] c ^ 2 = (a + b) ^ 2 [/ matemáticas] es aproximadamente igual a [matemáticas] c = \ dfrac {c ^ 2-a ^ 2} {2a} [/ matemáticas]?

Answer 1

Debido a la derivada de la raíz cuadrada.

Esta es, en el fondo, una expansión de la serie Taylor. Se aproxima a la raíz cuadrada (una función no lineal) por una función lineal. Ahora, sobre una raíz cuadrada de “distancia” larga no se va a aproximar bien una función lineal. Sin embargo, siempre que su [matemática] a ^ {2} [/ matemática] esté relativamente cerca de [matemática] ^ {2} [/ matemática], no es una mala aproximación suponer que la raíz cuadrada es lineal, con pendiente [matemáticas] 1 / 2a [/ matemáticas]. Para ver por qué esto es cierto, haga un poco de cálculo:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ sqrt {x} = \ frac {d} {dx} x ^ {1/2} = \ frac {1} {2x ^ {1/2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} [/ math]

Entonces puede ver, si está cerca de [math] a ^ {2} [/ math], entonces la pendiente de la raíz cuadrada está razonablemente bien aproximada por su pendiente en [math] a ^ {2} [/ math] – que es [matemática] 1 / 2a [/ matemática]. Luego, para obtener su “subida”, simplemente multiplique la pendiente, por la “carrera” que le da la fórmula que puso en la pregunta.

Answer 2

En la segunda ecuación, ¿quieres decir “b =”, no “c =”?

Si es así, y si supone que a >> b (“a” es un orden de magnitud mayor que “b”):

Como [math] a ^ 2 + b ^ 2 [/ math] está muy cerca de [math] a ^ 2 [/ math], puede escribir:

[matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2 + 2ab [/ matemáticas]

[matemáticas] b = (c ^ 2-a ^ 2) / {2a} [/ matemáticas]