¿Cómo encuentra la ecuación de la recta tangente para f (x) = 1 / (2x + 3) al encontrar la derivada, en x = 2?

Usando la regla de división, la derivada de esa función es,

[matemáticas] f ‘(x) [/ matemáticas] [matemáticas] = \ frac {-2} {4x ^ {2} + 12x + 9} [/ matemáticas]

En [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas], la derivada le da [matemáticas] \ frac {-2} {49} [/ matemáticas], que es la pendiente de la línea tangente en [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]

También sabe que en la ecuación original, [matemáticas] f (2) = \ frac {1} {7} [/ matemáticas]

Entonces, la ecuación de la línea tangente será:

[matemáticas] y = \ frac {-2} {49} x + b [/ matemáticas]

Luego, pones el valor de [matemática] y [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática] de la ecuación original, [matemática] f (x) [/ matemática]. Trabaja y obtienes esa [matemática] ] b = \ frac {11} {49} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ frac {-2} {49} x + \ frac {11} {49} [/ matemáticas]

Para comenzar esta pregunta, primero necesita encontrar la derivada de [math] f (x) [/ math], para hacer esto puede usar la regla de la cadena:

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {du} {dx} \ cdot \ dfrac {dy} {du} [/ matemáticas]

Donde en este caso

[matemáticas] y = f (x) = (2x + 3) ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemática] u = 2x + 3 [/ matemática] por lo tanto [matemática] y = u ^ {- 1} [/ matemática]

Entonces:

[matemáticas] \ dfrac {du} {dx} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {du} = -u ^ {- 2} [/ matemáticas]

Por lo tanto:

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = 2 \ cdot -u ^ {- 2} [/ matemáticas]

Pon [math] u = (2x + 3) [/ math] nuevamente en la ecuación

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = 2 \ cdot – (2x + 3) ^ {- 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = – \ dfrac {2} {(2x + 3) ^ 2} [/ matemáticas]

Ingrese el valor de [math] x = 2 [/ math] para obtener [math] \ dfrac {dy} {dx} = – \ dfrac {2} {49} [/ math]

Luego ponlo como el valor del gradiente en la ecuación de línea:

[matemáticas] y-y_1 = m (x-x_1) [/ matemáticas]

Donde sabemos [matemática] m = – \ dfrac {2} {49} [/ matemática] y [matemática] x_1 = 2 [/ matemática] y para encontrar [matemática] y_1 [/ matemática] conectamos [matemática] x_1 = 2 [/ math] en el original [math] f (x) [/ math] para obtener [math] y_1 = \ frac {1} {7} [/ math]

Conéctelos a la ecuación de línea, reorganice y simplifique y debería obtener:

[matemáticas] 49y + 2x – 11 = 0 [/ matemáticas]

Espero que esto ayude 🙂

Solución dada f (x) = 1 / (2x + 3)

f ‘(x) = -2 / (2x + 3) ^ 2

en x = 2, m = -2 / 49

Ecuación de tangente

y-1/7 = -2 / 49 (x-2)