Debería ser bastante obvio que la familia descrita satisface la DE [matemática] y ” = K [/ matemática] (una constante). A continuación veremos que necesitamos [matemáticas] K = \ pm \ frac {1} {2P} [/ matemáticas]. Es decir, hay dos DE diferentes: una para parábolas de apertura hacia arriba ([matemática] K> 0 [/ matemática]) y otra para parábolas de apertura hacia abajo ([matemática] K <0 [/ matemática]).
Podemos encontrar esto trabajando hacia atrás desde la solución general: la distancia de vértice a foco de [matemáticas] y = ax ^ 2 [/ matemáticas] es [matemáticas] \ frac {1} {4 | a |} [/ matemáticas ], entonces necesitamos [matemáticas] | a | = \ frac {!} {4P} [/ matemáticas] (supongo que la distancia P es positiva). Esto no cambia por reflexión a través del eje x ni por traducción (horizontal o vertical), por lo que la familia de parábolas descrita es
[matemáticas] y = \ pm \ frac {1} {4P} (xh) ^ 2 + k \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
para constantes arbitrarias h y k. Diferenciando da
- ¿Cuál es la ecuación diferencial de y = Ax ^ 2 + Bxe ^ x donde A y B son alguna constante arbitraria?
- Dado que una de las raíces de la ecuación [matemáticas] 2x ^ 2-10mx + \ frac {1} {2} m = 0 [/ matemáticas] es tres veces la otra raíz, ¿cuál es el valor de m?
- ¿Cómo obtengo la viscosidad del aire sin usar una ecuación?
- ¿Cuál es la forma más rápida de resolver ecuaciones de orden superior que son de (x + 1) ^ n – nx = b forma donde 0 <n <5?
- ¿Cómo modelo más de una masa en un resorte con ecuaciones diferenciales?
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ pm \ frac {1} {2P} (xh) \ tag * {} [/ matemáticas]
Diferenciar por segunda vez da
[matemáticas] \ bbox [# F8F, 10px] {\ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = \ pm \ frac {1} {2P}} \ tag * {} [/ matemáticas]
¿Cuál es la ecuación diferencial de parábolas con eje de simetría paralela al eje y y con la distancia desde el vértice al foco fija como P?