¿Hay alguna manera de resolver una ecuación de segundo grado (ax2 + bx + c) sin usar la fórmula clásica?

Answer 1

¡Si!

Pero este otro método solo puede resolver ecuaciones que tienen raíces reales como soluciones.

Una ecuación de segundo grado se da como: ax² + bx + c = 0

Para resolver esto sin usar la fórmula clásica, encuentre dos números p y q tales que b = p + q y pq = ac .

Así,
esta ecuación se escribe como: ax² + px + qx + c = 0 ,
=> x (ax + p) + r ‘(q’x + c’) = 0 donde r’q ‘= q y r’c’ = c

Ahora desde pq = ac,
=> x (ax + p) + r ‘(ax + p) = 0
=> (x + r ‘) (ax + p) = 0

Por lo tanto, las soluciones son:

x = -r ‘

o

x = -p / a = -c ‘/ q’ = -c / q

---

Por ejemplo, tomemos 3x² + 5x + 2 = 0,

Aquí: a = 3, b = 5, c = 2,
Por lo tanto: ac = 6 entonces pq = 6,
También p + q = b = 5 ,
Por lo tanto pyq pueden ser 2 y 3 respectivamente.
Pero si p = 2 y q = 3, entonces r ‘= 1 como q y c no tienen un factor común excepto 1 ,

Entonces la ecuación se convierte en:
3x² + 2x + 3x + 2 = 0
=> x (3x + 2) + 1 (3x + 2) = 0
=> (x + 1) (3x + 2) = 0
Las raíces de la ecuación son: -1 y -2/3

---

Ahora veamos 3x² -5x -2 = 0,

Aquí: a = 3, b = -5, c = -2 ,
Por lo tanto: ac = -6 entonces pq = -6 ,
También p + q = b = -5 ,
Por lo tanto pyq pueden ser 1 y -6 respectivamente.
Pero si p = 1 y q = -6, entonces r ‘= -2 como q y c tienen el factor común -2 ,

Entonces la ecuación se convierte en:
3x² + x – 6x – 2 = 0
=> x (3x + 1) – 2 (3x + 1) = 0
=> (x-2) (3x + 1) = 0
Las raíces de la ecuación son: 2 y -1/3

---

Un tercer método sería utilizar el método gráfico.

Tomando y = ax² + bx + c,

Trace una gráfica de y versus x tomando valores aleatorios de xy sustituyéndolos en la ecuación, luego, a partir de la curva obtenida, encuentre en qué dos puntos la curva se encuentra con el eje x. Esos dos valores de x dan raíces de la ecuación.

Answer 2

Si. Podemos utilizar una técnica llamada completar el cuadrado , aunque el resultado te decepcionará bastante.

Sin embargo, antes de continuar, permítame aconsejarle que una fórmula no es un método. No se puede “no usar” una fórmula, porque es solo un hecho. Es como preguntar “¿Qué es 2 + 3 sin usar la fórmula 2 + 3 = 5?” Podría obtener el resultado de los primeros principios, pero al final llegaremos a esa fórmula. No hay forma de evitarlo.

En segundo lugar, la fórmula cuadrática no es mágica. Tiene una derivación y debes estar familiarizado con ella en el nivel secundario. Cuando usas la fórmula cuadrática, solo estás aplicando una versión condensada de la derivación; si no conoce al menos el enfoque general de la derivación, no está aprendiendo matemáticas; Estás haciendo números.

La matemática no se trata de conectar y desconectar; Python puede hacer esos órdenes de magnitud más rápido que tú. Se trata de construir abstracciones y razonamientos lógicos que ayudan en problemas complicados.

Vamos a empezar. Sin pérdida de generalidad, resolvamos la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que cualquier cuadrático se puede poner en esta forma dividiendo a través de a. byc son marcadores de posición para los valores que obtiene.

Refactorice esta ecuación con algo de álgebra para [matemáticas] (x + \ frac {b} {2}) ^ 2 – \ frac {b ^ 2} {4} + c = 0 [/ matemáticas]. Mueve las constantes al RHS.

[matemáticas] (x + \ frac {b} {2}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4} – c [/ matemáticas].

Toma la raíz cuadrada.

[matemáticas] x + \ frac {b} {2} = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {4} – c} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} {2} [/ matemáticas].

Answer 3

Si. Hay una forma gráfica …

Dada su ecuación ax2 + bx + c = 0

Puedes separarlo en dos funciones:

ax2 = – bx – c

Y juntarlos.

Las intersecciones (x, y) tendrán los valores x válidos para la ecuación inicial.