¿Cómo resuelve esta ecuación, [math] \ sqrt {| 2x-6 |} = | x | -x [/ math]?

Answer 1

* A2A

• En el caso de múltiples funciones de valor absoluto, encuentre primero los puntos de interrupción.
• Comience desde el punto de ruptura más a la izquierda y avance lentamente hacia la derecha.
• En esta ecuación, los saltos están en [matemáticas] x = 0,3 [/ matemáticas]

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[matemáticas] \ begin {align} f (x) & = \ sqrt {| 2x-6 |} – | x | + x \\ & = \ begin {cases} \ sqrt {- (2x-6)} + x + x, & x <0 \\\ sqrt {2x-6} + x + x, & 0 \ le x <3 \\\ sqrt {2x-6} -x + x, & x \ ge3 \ end {casos} \\ \ hline f (x) & = 0 \\ 0 & = \ begin {cases} \ sqrt {6-2x} + 2x, & x <0 \\\ sqrt {2x-6} + 2x, & 0 \ le x <3 \ \\ sqrt {2x-6}, & x \ ge 3 \ end {casos} \\ 0 & = \ begin {cases} 2x ^ 2 + x-3, y x <0 \\ 2x ^ 2-x + 3, & 0 \ le x <3 \\ x-3, & x \ ge 3 \ end {cases} \\\ hline x & = \ begin {cases} – \ dfrac32 \ space \ boxed {\ checkmark}, 1 \ space \ boxed {\ times } & x <0 \\\ text {raíces complejas} \ space \ boxed {\ times}, & 0 \ le x <3 \\ 3 \ space \ boxed {\ checkmark}, & x \ ge 3 \ end {cases} \ end {alinear} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

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Las únicas soluciones que parecen funcionar aquí son [math] \ boxed {x = – \ dfrac 32,3} \ tag * {} [/ math]

Answer 2

| X | – X puede ser igual a 0 (para X> 0) o -2X para X <0

Por lo tanto, si X> 0,

2X – 6 debe ser 0, por lo tanto, X = 3

De lo contrario, sqrt (| 2X -6 |) debe ser igual a -2X

cuadrando ambos sabemos | 2X – 6 | = 4X ^ 2

Desde X <0, | 2X -6 | = -2X + 6

Entonces: -4X ^ 2 – 2X + 6 = 0

Esto tiene dos raíces, -1.5 y 1. Pero nuevamente, 1 no es <0, por lo que lo descartamos.

Entonces, hay dos soluciones: -1.5 y 3 .

Answer 3

[matemáticas] \ sqrt {| 2x-6 |} \ ge 0 \ impiles | x | -x \ ge 0 \\ x \ ge0 \ implica | x | -x = 0 [/ matemáticas]

O bien [matemáticas] x \ ge 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2x-6 = 0 [/ matemáticas]

o [matemática] x <0 [/ matemática] y [matemática] \ sqrt {6-2x} = -2x [/ matemática]

cuadrado de ambos lados

[matemáticas] 6– 2x = 4x ^ 2 \\ 4x ^ 2 + 2x – 6 \\ (4x + 6) (x-1) = 0 \ x = – \ frac 32 [/ matemáticas]

podemos rechazar la solución [matemática] x = 1 [/ matemática] ya que contradice la suposición [matemática] x <0 [/ matemática]

[matemáticas] x = 3, – \ frac 32 [/ matemáticas]