Generalización:
Se nos da un [math] k \ in \ mathbb {N} [/ math] y [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math]. Queremos saber el número de soluciones enteras positivas para las [matemáticas] y_i [/ matemáticas] que satisfacen la ecuación [matemáticas] \ suma \ límites_ {i = 1} ^ {k} {y_i} = n [/ matemáticas], donde [matemáticas] y_i \ leq y_ {i + 1} [/ matemáticas].
Para nuestra pregunta específica, [matemáticas] k = 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 25 [/ matemáticas].
Responder:
- ¿Es concebible que se pueda formular una ecuación que exprese la relación entre el espacio y el tiempo de la misma manera que la famosa ecuación de Einstein expresa la relación entre masa y energía?
- ¿Qué tiene de malo esta ecuación de la tercera ley de Kepler, P ^ 2 = a ^ 3?
- Cómo resolver una ecuación con múltiples conjuntos de valores absolutos como, | 3-2x | – | x + 1 | + | 2-x | = | 3-9x | + x-5
- ¿Cómo puede una ecuación tener soluciones infinitas?
- ¿Deberían usarse velocidad o velocidad en las ecuaciones de movimiento y pueden usarse juntas?
En general, la respuesta es el coeficiente de [matemáticas] x ^ {n} [/ matemáticas] en la expansión de [matemáticas] x ^ k \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {k} {\ frac {1} {1-x ^ i}} [/ matemáticas].
Para [math] k = 3 [/ math], la respuesta general anterior se simplifica a [math] \ boxed {[\ frac {n ^ 2} {12}]} [/ math] (donde [math] [a] [ / math] se refiere a la función entera más cercana).
Para nuestra pregunta específica, la respuesta es [matemática] [\ frac {25 ^ 2} {12}] = \ boxed {52} [/ math]. Esto puede verse también en la solución general anterior, como el coeficiente de [matemáticas] x ^ {25} [/ matemáticas] en la expansión de [matemáticas] \ frac {x ^ 3} {(1-x) (1 -x ^ 2) (1-x ^ 3)} [/ math] (como se muestra en Computational Knowledge Engine) también es [math] 52 [/ math].
Razonamiento:
Si solo quisiéramos saber el número de soluciones enteras positivas para las [matemáticas] y_i [/ matemáticas] que satisfacen la ecuación [matemáticas] \ suma \ límites_ {i = 1} ^ {k} {y_i} = n [/ matemáticas ] (sin la restricción adicional), entonces la respuesta sería simplemente [matemáticas] \ binom {n-1} {k-1} [/ matemáticas] (utilizando la explicación en Estrellas y barras (combinatoria)).
Sin embargo, tenemos la restricción adicional de que [math] y_i \ leq y_ {i + 1} [/ math], lo que hace que la respuesta anterior cuente las mismas soluciones varias veces. Entonces debemos abordar esta pregunta de una manera diferente.
Esta pregunta solicita el número de particiones de un número con un número restringido de partes (es decir, particionando [matemáticas] n [/ matemáticas] en [matemáticas] k [/ matemáticas] partes). Como se muestra en el enlace, nuestra pregunta es equivalente a preguntar la cantidad de formas de dividir [math] n [/ math] en partes de tamaño [math] \ leq k [/ math].
Para un valor fijo de [math] k [/ math], podemos definir [math] f_k (n) [/ math] como el número de formas de dividir [math] n [/ math] en partes no vacías de tamaño [ matemáticas] \ leq k [/ matemáticas]. La función generadora de [math] f_k [/ math] es, por definición, [math] A (x) = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {\ infty} {f_k (i) x ^ i} [/ matemáticas]. Para cada [matemática] 1 \ leq j \ leq k [/ matemática], podemos definir [matemática] g_j (n) [/ matemática] como el número de formas de dividir [matemática] n [/ matemática] en partes no vacías de tamaño [matemáticas] j [/ matemáticas]. Entonces [math] g_j (n) = \ begin {cases} 1 & \ text {,} n \ equiv 0 \ mod {j} \\ 0 & \ text {, de lo contrario} \ end {cases} [/ math]. Entonces, la función generadora para [math] g_j [/ math] es [math] A_j (x) = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {\ infty} {g_j (i) x ^ i} = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {\ infty} {x ^ {ji}} = \ frac {x} {1-x ^ j} [/ math] (porque series geométricas). Debido a la increíble forma en que funcionan las funciones generadoras, [matemática] A (x) = \ prod \ limits_ {j = 1} ^ {k} {A_j (x)} = \ prod \ limits_ {j = 1} ^ {k } {\ frac {x} {1-x ^ j}} = x ^ k \ prod \ limits_ {j = 1} ^ {k} {\ frac {1} {1-x ^ j}} [/ math] . Por lo tanto, esta es la función generadora de [math] f_k [/ math], el número de formas de dividir [math] n [/ math] en partes no vacías de tamaño [math] \ leq k [/ math].
Para el caso de [math] k = 3 [/ math], podemos simplificar la respuesta, expresándola sin la necesidad de una función generadora. Como señala el enlace de Wikipedia anterior (en la página 14 de este pdf de “Algunos problemas famosos de la teoría de los números y en el problema de Waring particular” por GH Hardy), podemos utilizar la descomposición de fracción parcial (escritura [matemática] \ frac {1 } {(1-x) (1-x ^ 2) (1-x ^ 3)} = \ frac {1} {(1-x) ^ 3 (1 + x) (1 + x + x ^ 2) } [/ math] como [math] \ frac {A} {1-x} + \ frac {B} {(1-x) ^ 2} + \ frac {C} {(1-x) ^ 3} + \ frac {D} {1 + x} + \ frac {Ex + F} {1 + x + x ^ 2} [/ math]). Después de eso, podemos convertir de nuevo a series infinitas y observar que el coeficiente de [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] tiene la solución de forma más cerrada: [matemáticas] [\ frac {n ^ 2} {12}] [/ matemáticas].