¿Cómo puede una ecuación tener soluciones infinitas?

Answer 1

Asumiré que “soluciones infinitas” se entiende en el sentido de “un número infinito de soluciones” en lugar de “soluciones que tienen una magnitud infinita”. Aquí hay una ecuación en una variable que tiene un número infinito de soluciones:

[matemáticas] 0 x = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Es fácil ver que hay un número infinito de valores para [math] x [/ math] que funcionarán aquí.

Aquí hay una ecuación de una variable que es (ligeramente) menos trivial:

[matemáticas] \ cos ^ 2 x + \ sin ^ 2 x = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Como se trata de una identidad trigonométrica básica, se satisface para cada valor de [math] x [/ math]. De hecho, muchas identidades pueden considerarse como ecuaciones con un número infinito de soluciones. (Algunas identidades están restringidas a dominios finitos, en cuyo caso obviamente tienen solo un número finito de soluciones).

Un sistema de ecuaciones [matemáticas] n [/ matemáticas] en las variables [matemáticas] n [/ matemáticas] también puede tener un número infinito de soluciones cuando las ecuaciones contienen algún tipo de redundancia. Aunque tal redundancia generalmente significa que hay un número infinito de soluciones, no necesariamente significa que cada combinación de valores sea una solución. Por ejemplo:

[matemáticas] x + y + z = 1 \\ x + z = 3 \\ 2x + y + 2z = 4 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

(La redundancia aquí es que la tercera ecuación es la suma de las dos primeras ecuaciones). Si lo resuelve, encontrará que hay una infinidad de soluciones, todas de la forma [matemáticas] y = -2 [/ matemática] y [matemática] x + z = 3 [/ matemática]. La solución se puede escribir paramétricamente como:

[matemáticas] x = t \\ y = -2 \\ z = 3 – t \ tag * {} [/ matemáticas]

para todos los valores de [math] t [/ math].

Answer 2

Bueno, cualquier ecuación (o sistema de ecuaciones), que tenga al menos una variable libre, tendrá infinitas soluciones. Por un simple ejemplo …

[matemáticas] y = 2x [/ matemáticas]

Hay un número infinito de puntos en [matemática] R ^ 2 [/ matemática] que satisfacen esta ecuación, porque [matemática] x / y [/ matemática] puede ser cualquier cosa y para cada [matemática] x / y [/ matemática] solo hay una [matemática] y / x [/ matemática].

Para un ejemplo quizás menos obvio …

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 10 [/ matemáticas]

Si integra esto con respecto a [matemática] x [/ matemática], encontrará que [matemática] \ Delta y = 10 \ Delta x [/ matemática] que es cierto para cualquier ecuación de la forma [matemática] y = 10x + C [/ math] donde [math] C [/ math] es algo constante. Si no hay más restricciones, hay infinitas soluciones.

Answer 3

Estrictamente hablando, una ecuación no tiene ninguna solución, simplemente tiene un valor de verdad .

Cuando las personas hablan de una ecuación como [matemática] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemática] que tiene cierto número de soluciones, en realidad están hablando del subconjunto [matemática] S [/ matemática] del dominio [matemática] D [/ math] de cualquier variable libre en la ecuación que haga que la ecuación sea verdadera. En este caso [matemática] S = \ {x \ en D \ colon x ^ 2 + 1 = 0 \} [/ matemática], y el número de soluciones es la cardinalidad de [matemática] S [/ matemática].

Varias cosas a tener en cuenta:

• El dominio [math] D [/ math] a menudo se define por contexto (o se deja implícito como [math] \ mathbb R [/ math])
• El número de soluciones depende del dominio: el ejemplo no tiene soluciones en [math] \ mathbb R [/ math] sino dos en [math] \ mathbb C [/ math]
• El conjunto de soluciones [math] S [/ math] puede ser transfinito, por ejemplo [math] \ {x \ in \ mathbb R \ colon (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 \} = \ mathbb R [/ matemáticas]
• El conjunto de soluciones puede incluir “soluciones infinitas” solo si el dominio [matemáticas] D [/ matemáticas] admite “miembros infinitos”
• El conjunto de soluciones puede estar restringido por cualquier predicado, no solo por las igualdades, por ejemplo [matemáticas] \ {x, y \ in \ mathbb R \ colon y> x ^ 2 \ land y <4 \} [/ matemáticas]

Answer 4

Esto se puede ver cuando pones los sistemas de ecuaciones en matrices.

Ok, supongamos que su sistema tiene soluciones, que es posible resolver.

Después de usar la eliminación de Gauss-Jordan, si ve que una variable no tiene pivotes, significa que es una variable libre.

Y esto eventualmente significa que las otras variables se escribirán de acuerdo con esa variable libre y que esta variable será cualquier número real.

Answer 5

No está claro si te refieres a “infinitas soluciones”

o soluciones que son “infinitas” que significan “no finitas”.

Si quiere decir “infinitamente muchos”, entonces un tipo muy simple

serían aquellos como: 2x + 6 = 2 (x + 3) que siempre es cierto

para todos los valores de x. Generalmente llamamos a estas “identidades”.