Cómo resolver la siguiente ecuación diferencial, [matemática] \ left (\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} -1 \ right) ^ 2 \ left (\ frac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} x ^ 2} +1 \ right) ^ 2 y = \ sin ^ 2 \ left (\ frac {x} {2} \ right) + e ^ x + x [/ math]

Parece tarea una vez más. Así que voy a mostrar CÓMO hacerlo, no proporcionarle la solución. En primer lugar, debe encontrar la solución * general * a la ecuación homogénea: (D-1) ^ 2 (D ^ 2 + 1) ^ 2 y = 0. (D para d / dx) Esto se obtiene mediante la sustitución de y = e ^ (kx), lo que le da una ecuación de 6 ° grado en k, que su tutor ya ha factorizado convenientemente para obtener k = 1, k = i , k = -i. Esto ya le da tres soluciones fundamentales: e ^ x, e ^ (ix) y e ^ – (ix), y las dos últimas también se pueden representar por sen x y cos x si queremos permanecer en el dominio real. Cada una de esas tres soluciones * fundamentales * satisface la ecuación homogénea y también cualquier combinación lineal de ellas. Factor complicado: cada una de esas raíces de k es doble y para obtener tres soluciones fundamentales más, la teoría dice que multiplique la solución fundamental correspondiente por x, entonces xe ^ x, x sen x y x cos x. Si no cree esto, simplemente sustitúyalos en la ecuación. Entonces, la solución * general * a la ecuación homogénea es:

y_H = A e ^ x + B xe ^ x + C sin x + D x sin x + E cos x + F x cos x

A, B, …, F constantes arbitrarias. Ahora tiene que encontrar solo una solución particular y_P a la ecuación no homogénea y obtiene la solución general que estaba buscando agregando eso a y_H. El lado derecho ya contiene dos soluciones fundamentales, por lo que su tutor me parece un tipo desagradable. (De lo contrario, habría sido fácil) Tenga en cuenta que sin ^ 2 (x / 2) es cos (x) disfrazado, por lo que el lado derecho es algo así como -1/2 cos x + 1/2 + e ^ x + x.

Las soluciones fundamentales e ^ x y xe ^ x producen 0 cuando se pasa por el operador diferencial de su DE, por lo que lo primero que debe intentar es: cx ^ 2 e ^ x para obtener algo como e ^ x después de pasarlo por el operador diferencial , con el factor ca a determinar. Mismo procedimiento para x ^ 2 cos x. Finalmente, para obtener x – 1/2 pones un polinomio de primer grado ex + f a través del picador para determinar las constantes e y f. Pegue todo esto y tendrá su y_P.