El “comentario” a esta pregunta, que en realidad era una respuesta, tenía esta imagen:
La pregunta es algo malformada. Por un lado, no está claro que [math] n [/ math] sea la variable de suma en las sumas que se deben verificar para determinar la igualdad. Además, los cuantificadores que rigen las condiciones en [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas], bajo las cuales se debe probar la igualdad, no se mencionan explícitamente.
La pregunta se interpreta para preguntar si hay una manera de saber si, dada una serie [matemática] \ suma \ límites _ {n = n_ {min}} ^ {n_ {max}} a_n [/ matemática], es el caso de que, para todos los enteros [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas], de modo que:
- ¿Cuál es una explicación simple para la ecuación general del segundo grado?
- ¿Cuál es la diferencia entre y = [2x] ^ 2 e y = 4x ^ 2?
- ¿Cuál es la ecuación para la forma del pozo de gravedad alrededor de un agujero negro?
- ¿Puedo usar la ecuación cuadrática en una función cuadrática? ¿Si es así, cómo?
- ¿Cuál es la diferencia entre ecuaciones y expresiones?
- [matemáticas] n_ {min} \ leq a \ leq c \ leq n_ {max} [/ math] y
- [math] n_ {min} \ leq 1 \ leq b \ leq n_ {max} [/ math] y
- [matemáticas] a \ neq 1 [/ matemáticas] y
- [matemáticas] c \ neq b [/ matemáticas]
la ecuación [matemáticas] \ suma \ límites _ {n = a} ^ c a_n = \ suma \ límites _ {n = 1} ^ b a_n [/ matemáticas] es válida. Las dos primeras condiciones son necesarias para mantener los límites de suma en la ecuación en límites (de modo que se definan las [matemáticas] a_n [/ matemáticas] correspondientes). Los cuantificadores se ponen como universales, porque eso es lo que se supone cuando se omiten.
[matemáticas] \ suma \ límites _ {n = a} ^ c a_n = \ suma \ límites _ {n = 1} ^ b a_n [/ matemáticas] requiere que todas las [matemáticas] a_n [/ matemáticas] sean iguales a cada una otro, ya que [math] c [/ math] y [math] a [/ math] se pueden configurar para que sean el mismo número que [math] 1 [/ math], y [math] b [/ math] puede ser configurado como [math] 1 [/ math], lo que da [math] a_c = a_1 [/ math]. Entonces, si las [matemáticas] a_n [/ matemáticas] no son todas iguales, entonces la declaración es falsa.
Como todos los [math] a_n [/ math] son iguales, [math] \ sum \ limits _ {n = a} ^ c a_n = \ sum \ limits _ {n = 1} ^ b a_n [/ math] es equivalente a [matemáticas] \ suma \ límites _ {n = a} ^ c a_1 = \ suma \ límites _ {n = 1} ^ b a_1 [/ matemáticas], que es equivalente a [matemáticas] \ izquierda (c – a + 1 \ right) a_1 = b a_1 [/ math]. Esto se puede cumplir con [math] a_1 = 0 [/ math], lo que hace que la afirmación sea verdadera en ese caso (que incluye la estipulación de que todos [math] a_n [/ math] son iguales).
Por lo tanto, se debe considerar la declaración [matemática] \ izquierda (c – a + 1 \ derecha) a_1 = b a_1 [/ matemática] con [matemática] a_1 [/ matemática] no igual a [matemática] 0 [/ matemática ], que lo simplifica a [matemáticas] c – a + 1 = b [/ matemáticas]. Si [math] n_ {max} \ geq 3 [/ math], entonces esto es falso, porque entonces, [math] c [/ math] podría ser [math] 3 [/ math], [math] a [/ math ] podría ser [matemáticas] 2 [/ matemáticas], y [matemáticas] b [/ matemáticas] podría ser [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Si [math] n_ {min} \ leq -1 [/ math], esto también es falso, porque entonces, [math] c [/ math] podría ser [math] 0 [/ math], [math] a [ / math] podría ser [math] -1 [/ math], y [math] b [/ math] podría ser [math] 1 [/ math]. Esto deja cuatro posibilidades:
- [matemática] n_ {min} = 0 [/ matemática] y [matemática] n_ {max} = 1 [/ matemática]. Entonces, [matemática] a \ neq 1 [/ matemática] requiere que [matemática] a = 0 [/ matemática], y [matemática] b \ geq 1 [/ matemática] requiere que [matemática] b = 1 [/ matemática] . Eso significa que [math] c \ neq b [/ math] requiere que [math] c = 0 [/ math]. [matemática] c – a + 1 = b [/ matemática] es verdadera en este caso, por lo que la afirmación es verdadera.
- [matemáticas] n_ {min} = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] n_ {máx} = 2 [/ matemáticas]. Entonces, si [matemática] a = 0 [/ matemática], [matemática] c = 2 [/ matemática] y [matemática] b = 1 [/ matemática], [matemática] c – a + 1 = b [/ matemática ] es falso, entonces el enunciado es falso.
- [matemática] n_ {min} = 1 [/ matemática] y [matemática] n_ {max} = 1 [/ matemática]. Entonces, [math] a \ neq 1 [/ math] y [math] a = 1 [/ math], por lo que las condiciones son imposibles de cumplir, lo que hace que la afirmación sea vacía.
- [matemática] n_ {min} = 1 [/ matemática] y [matemática] n_ {máx} = 2 [/ matemática]. Entonces, [matemática] a \ neq 1 [/ matemática] requiere que [matemática] a = 2 [/ matemática], y [matemática] c \ geq a [/ matemática] requiere que [matemática] c = 2 [/ matemática] . Eso significa que [math] c \ neq b [/ math] requiere que [math] b = 1 [/ math]. [matemática] c – a + 1 = b [/ matemática] es verdadera en este caso, por lo que la afirmación es verdadera.
Por lo tanto, la afirmación es verdadera cuando todas las [matemáticas] a_n [/ matemáticas] son iguales, y cuando, además, [matemáticas] a_1 = 0 [/ matemáticas], o la serie es una de las siguientes:
- [matemáticas] \ suma \ límites _ {n = 0} ^ 1 a_1 [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ suma \ límites _ {n = 1} ^ 1 a_1 [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ suma \ límites _ {n = 1} ^ 2 a_1 [/ matemáticas]
En todos los demás casos, la declaración es falsa.
Se deduce que hay una manera de saber si la ecuación se cumple o no.