¿Cuál es la ecuación del círculo de radio mínimo que toca las parábolas y = x ^ 2 + 2x + 4 y x = y ^ 2 + 2y + 4?

Answer 1

Primera ecuación → y = x ^ 2 + 2x + 4, si pones y = x, yx = y obtendrás una segunda parábola, por lo que ambas son simétricas sobre el eje x = y, supongo que esta es información suficiente para resolver con dar un paso largo →

eso indica que la tangente a la parábola que es paralela a x = y estará a una distancia mínima (puede dibujar el gráfico y verificar) →

dy / dx = 1 de y = x ^ 2 + 2x +4, te da x = -1/2 e y = 7/4,

ahora ecuación de normal en este punto => y-7/4 = -1 (x + 1/2), cortes x = y en (5 / 8,5 / 8),

este es el centro del círculo, el radio sería = 9/8 (2) ^ 1/2 (es decir, la distancia entre x = -1 / 2, y = 7/4 al centro del círculo).

entonces la ecuación será (y-5/8) ^ 2 + (x-5/8) ^ 2 = 81/32

si intenta encontrarlo usando la segunda parábola → x = y ^ 2 + 2y + 4, obtendrá la misma ecuación. así que aquí en este caso puedes resolverlo con cualquiera de las parábolas

El truco es que ambos son simétricos acerca de x = y, ¡espero que ayude!

Answer 2

• Encuentre la ecuación de tangentes a ambas parábolas de manera que se crucen entre sí.
• El punto de contacto de estas tangentes también debe ser los puntos del círculo.
• Resuelve las ecuaciones para radio, r y encuentra el radio mínimo usando el concepto Maxima-Minima (puedes derivar la ecuación y encontrar el mínimo r).

Answer 3

Reescribiendo la ecuación en forma estándar;

y = x ^ 2 + 2x + 1 + 3

(y-3) = (x + 1) ^ 2 ………………………… .. (1)

x = y ^ 2 + 2y + 1 + 3

(x-3) = (y + 1) ^ 2 ………………………… .. (2)

Vértice de (1) = (- 1,3)

Vértice de (2) = (3, -1)

Distancia entre sus vértices = {(- 1–3) ^ 2 + (3 + 1) ^ 2} ^ 1/2

= (32) ^ 1/2

= 4 (2) ^ 1/2

Por lo tanto, radio = {4 (2) ^ 1/2} / 2

= 2 ^ 3/2