¿Cuál es la ecuación de la tangente a la elipse (x ^ 2 / a ^ 2) + (y ^ 2 / b ^ 2) = 1, donde b ^ 2 = a ^ 2 (1 – e ^ 2), en el extremo del latus recto que se encuentra en el primer cuadrante?

Answer 1

Considere la transformación afín [matemática] T: (x, y) \ rightarrow (ax, by) [/ math]. El final del latus recta es [matemática] (ea, b ^ 2 / a) [/ matemática] [ya que es una línea vertical que pasa por el foco [matemática] (ea, 0) [/ matemática]], y esto end se convierte en [math] P = T ^ {- 1} [/ math] [math] (ea, b ^ 2 / a) = (e, b / a) [/ math].

Ahora, busquemos la tangente al círculo [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemática] en este punto [matemática] P [/ matemática]. La línea será [matemática] y = (-ae / b) x + c [/ matemática] para algunos [matemática] c [/ matemática].

Resolviendo, [matemáticas] (ae ^ 2 + cb) ^ 2 = b ^ 2 (1 – e ^ 2), entonces (ae ^ 2 + cb) = \ pm b ^ 2 / a [/ matemáticas] y [matemáticas] c = \ frac {-a ^ 2e ^ 2 \ pm b ^ 2} {ab} [/ math]. Entonces la línea es [matemática] y = \ frac {-ae} {b} x + \ frac {b ^ 2 – (ae) ^ 2} {ab} [/ math] ya que queremos el primer cuadrante. Podemos aplicar [matemáticas] T [/ matemáticas] a la línea.

Answer 2

La ecuación de la elipse es [matemática] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1, \ qquad [/ matemática] donde [matemática] \ qquad b ^ 2 = a ^ 2 (1-e ^ 2). [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad y ^ 2 = b ^ 2 \ left (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} \ right) = \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ left ( a ^ 2-x ^ 2 \ right). [/ math]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad 2y \ frac {dy} {dx} = – \ frac {2b ^ 2x} {a ^ 2}. [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad \ frac {dy} {dx} = – \ frac {1} {y} \ frac {b ^ 2x} {a ^ 2} = – \ frac {b ^ 2x} {a ^ 2 } \ frac {a} {b \ sqrt {a ^ 2-x ^ 2}} = – \ frac {bx} {a \ sqrt {a ^ 2-x ^ 2}}. [/ math]

Las coordenadas del extremo del latus recto que se encuentra en el primer cuadrante es [matemáticas] \ izquierda (ae, \ frac {b ^ 2} {a} \ derecha). [/ Matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad [/ matemática] La pendiente de la tangente a la elipse que pasa por el extremo del recto latus que se encuentra en el primer cuadrante es

[matemáticas] – \ frac {bx} {a \ sqrt {a ^ 2-x ^ 2}} = – \ frac {bae} {a \ sqrt {a ^ 2-a ^ 2e ^ 2}} = – \ frac {bae} {a \ sqrt {b ^ 2}} = -e. [/ math]

Ahora sabemos que [math] \ left (ae, \ frac {b ^ 2} {a} \ right) [/ math] es un punto que se encuentra en la tangente y que la pendiente de la tangente es – [math] e [ /matemáticas].

Entonces, por la fórmula punto-pendiente, obtenemos la ecuación de la tangente como

[matemáticas] \ frac {y- \ frac {b ^ 2} {a}} {x-ae} = -e. [/ matemáticas]

[matemáticas] es decir, \ qquad y = -ex + ae ^ 2 + \ frac {b ^ 2} {a}. [/ matemáticas]

[matemáticas] es decir, \ qquad y = -ex + \ frac {a ^ 2e ^ 2 + b ^ 2} {a}. [/ matemáticas]

[matemáticas] es decir, \ qquad y = -ex + \ frac {a ^ 2} {a}. [/ matemáticas]

[matemáticas] es decir, \ qquad y = -ex + a. [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad [/ matemática] La pendiente de la tangente a la elipse que pasa por el extremo del recto latus que se encuentra en el primer cuadrante es [matemática] y = -ex + a. [/ matemática]