Cómo probar, sin completar el cuadrado, las coordenadas generales del vértice de un cuadrático en forma estándar

Answer 1

Aquí está la forma estándar:

[matemáticas] \ begin {align *} ax ^ 2 + bx + c = 0 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Para encontrar la [matemática] x [/ matemática] -coordinada del vértice, use la fórmula:

[matemáticas] \ begin {align *} – \ frac {b} {2a} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Luego, sustituya ese cociente por [matemáticas] x [/ matemáticas] en la expresión cuadrática y evalúe.

Ese valor será la [matemática] y [/ matemática] -coordinada del vértice.

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Aquí hay un ejemplo:

Dada la ecuación [matemáticas] 2x ^ 2–12x + 16 [/ matemáticas], ¿cuál es el vértice?

Primero, identifique los valores [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática]:

• [matemáticas] a = 2 [/ matemáticas]
• [matemáticas] b = -12 [/ matemáticas]

Usando la fórmula del vértice:

[matemáticas] \ begin {align *} – \ frac {b} {2a} \\\ rightarrow – \ frac {-12} {4} \\\ rightarrow 3 \ end {align *} \ tag * {} [/ matemáticas]

Conectando [math] 3 [/ math] a la expresión original:

[matemáticas] \ begin {align *} 2x ^ 2–12x + 16 \\\ rightarrow 2 (3) ^ 2–12 (3) +16 \\\ rightarrow 18–36 + 16 \\\ rightarrow -2 \ end {alinear *} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el vértice se encuentra en el punto [matemáticas] (3, -2) [/ matemáticas].

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Este método no requiere un cuadrado perfecto, aunque no estoy seguro de lo que quieres decir con “prov [ing]” las coordenadas del vértice.

Esto no es una prueba, sino una descripción de cómo encontrar el vértice.

Answer 2

Supongo que también quieres excluir cualquier magia cuya existencia dependa de completar el cuadrado. El cálculo parece un poco poderoso por el sabor de la pregunta. Entonces intentamos esto. Puede convertirse en un desastre. Deje que la ecuación general sea

[matemática] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática] con [matemática] a> 0 [/ matemática]. Si esto te emociona, puedes lidiar con [matemáticas] a <0 [/ matemáticas] en tu tiempo,

y deje que la [matemática] x [/ matemática] -coordinada del vértice sea [matemática] u [/ matemática].

Luego, para cualquier [math] \ epsilon> 0 [/ math] (no se preocupe, no [math] \ delta [/ math] ‘s)

[matemáticas] a {(u + \ varepsilon) ^ 2} + b (u + \ varepsilon) + c \ ge a {u ^ 2} + bu + c [/ math].

Lo cual se simplifica a

[matemáticas] a \ varepsilon + 2au + b \ ge 0 [/ matemáticas] o

[matemáticas] u \ ge \ dfrac {{- b – a \ varepsilon}} {{2a}}. [/ matemáticas]

Ahora la otra cara de la moneda, para cualquier [matemática] \ epsilon <0 [/ matemática]

[matemáticas] a {(u + \ varepsilon) ^ 2} + b (u + \ varepsilon) + c \ ge a {u ^ 2} + bu + c [/ math].

Lo cual se simplifica a

[matemáticas] a \ varepsilon + 2au + b \ ge 0 [/ matemáticas] o

[matemáticas] u \ le \ dfrac {{- b – a \ varepsilon}} {{2a}}. [/ matemáticas]

Su trabajo es ver cómo concluimos que [matemáticas] u = – \ dfrac {b} {2a}. [/ Matemáticas]

Answer 3

¿Qué duele completar el cuadrado?

Alternativamente, observe que cuando conecta (-b / a – x) en su lugar para x, obtiene

a (-b / a -x) ^ 2 + b (-b / ax) + c = (b ^ 2 / a + 2b x + ax ^ 2) – b ^ 2 / a – bx + c = ax ^ 2 + bx + c

Entonces, los valores de la función f (x) = ax ^ 2 + bx + c son los mismos para x y -b / a -x.

Esto implica que el gráfico es simétrico con respecto a x = – b / 2a.

Otra opción es tomar la derivada: f ‘(x) = 2a x + b. Tendrá cero en el vértice.

Answer 4

Si no podemos completar el cuadrado, entonces supongo que tampoco deberíamos usar la fórmula (porque se deriva compitiendo con el cuadrado). Así que vamos con el cálculo.

[matemáticas] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = 2ax + b [/ matemáticas]

El vértice es donde debe estar el punto de inflexión, así que …

[matemáticas] 2ax + b = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = – \ dfrac {b} {2a} [/ matemáticas]

[matemática] y = a \ left (- \ dfrac {b} {2a} \ right) ^ 2 + b \ left (- \ dfrac {b} {2a} \ right) + c [/ math]

[matemáticas] = a \ left (\ dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} \ right) – \ left (\ dfrac {b ^ 2} {2a} \ right) + c [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ dfrac {b ^ 2} {4a} \ right) – \ left (\ dfrac {2b ^ 2} {4a} \ right) + \ dfrac {4ac} {4a} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {4ac-b ^ 2} {4a} [/ matemáticas]

Entonces, el vértice está en [matemáticas] \ izquierda (- \ dfrac {b} {2a}, \ dfrac {4ac-b ^ 2} {4a} \ derecha) [/ matemáticas]

Answer 5

Sea f (x) = ax² + bx + c. Entonces f (0) = c, y tenga en cuenta que ax² + bx → x (ax + b) produce otro punto en el dominio, por lo tanto f (-b / a) = c. Entonces dos valores de entrada producen la misma salida. Ahora el punto medio de 0 & -b / a es -b / 2a. Ahora se conoce el eje de simetría, y el vértice es (-b / 2a, f (-b / 2a)) es el vértice sin completar el cuadrado o el cálculo.