¿Cuándo se puede o cuándo se debe aplicar una forma separable variable en ecuaciones diferenciales parciales?

En realidad, es algo que asumes y luego ves si funciona: asumes que, por ejemplo, U (x, y) = X (x) Y (y), de modo que U (x, y) es solo la multiplicación de dos funciones , uno solo según x y uno solo según y. Luego aplica las derivadas parciales y ve si puedes obtener toda la variación de una variable en un lado de la ecuación y las otras variables en el otro lado. Para que pueda llamar a ambos lados igual a la misma constante arbitraria (que llamaré C).

Veamos un ejemplo: la ecuación de calor es la ecuación diferencial parcial (PDE) Uxx = Ut, donde xx es la segunda derivada parcial con respecto a x y t significa la primera derivada parcial con respecto a t.

Aplicando el primer supuesto de que u tiene la forma u (x, t) = X (x) T (t), reescribimos

(X (x) T (t)) xx = (X (x) T (t)) t

Usando apóstrofes para denotar derivados y aplicando derivados parciales, reescribo

X ” (x) T (t) = T ‘(t) X (x)

Dividir por X (x) T (t), obtenemos

X ” / X = T ‘/ T

Ah, ja, todas las X y sus derivados están en un lado y todas las T y sus derivados están en el otro. Pero son diferentes variables, ¿cómo podría ser eso?

Si ambos son iguales a la misma constante (no importa lo que sea, y resulta que en este caso generalmente hay un número infinito que lleva a que la solución sea una serie infinita), tiene sentido porque ambos no en realidad tiene una variable x o t izquierda.

Entonces tenemos, donde C es una constante arbitraria,

X ” / X = T ‘/ T = C

Que podemos hacer álgebra para demostrar que …

X ” – CX = 0 y T ‘- CT = 0

Esas son ecuaciones diferenciales ordinarias relacionadas que pueden resolverse para luego recuperar lo que u (x, t) sería (generalmente una serie infinita de la multiplicación de varias instancias de X (x) y T (t) en este caso, ya que para cada posible C, hay una X (x) y T (t) diferente).

Si puede obtener algo como esas ODE finales suponiendo que es una multiplicación de funciones de una variable única diferente y luego aplicando las derivadas parciales, entonces está dorado y ha demostrado que la separación de variables puede producir una solución para el PDE.

En general, creo que siempre que la ecuación se escriba de manera que tenga todas las derivadas parciales con respecto a una variable en un lado y todas las derivadas parciales con respecto a las otras variables en el otro lado, como Uxx = Ut, debería intente la separación de variables para la solución porque probablemente funcionará. Especialmente si ninguna de las derivadas parciales se mezcla (como verá algunos ejemplos de)

Entonces, entonces, creo que la separación de variables también debería aplicarse a lo siguiente. Note el patrón aquí

  • Uxx = Utt (la ecuación de onda 1-D)
  • Uxx + Uyy + Uzz = 0 (ecuación de Laplace en 3D)
  • Uxxx = Uyy, Uxxx = Uy y Uxx + Uyy = Ut