Primero intentemos visualizar el problema dado para resolverlo.
Un diagrama de contorno de las ecuaciones [matemáticas] x + y = 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] {\ displaystyle x ^ x + y ^ y = 64} [/ matemáticas] se vería así (hecho con Mathematica):
Otra forma de ver el problema dado es considerar que [matemáticas] y = 4-x [/ matemáticas], y considerar la ecuación [matemáticas] {\ displaystyle (4-x) ^ {(4-x)} = 64 -x ^ x}. [/ math] A continuación se muestra un gráfico de las funciones [math] {\ displaystyle f (x) = (4-x) ^ {(4-x)}} [/ math] y [math] {\ displaystyle g (x) = 64-x ^ x}, [/ math] mostrando sus puntos de intersección (reales) (hechos con Mathematica):
Aquí hay una gráfica de las mismas funciones, que muestra las partes reales e imaginarias de esas funciones y sus intersecciones:
El código de Mathematica para la última gráfica anterior es:
Trazar [{Im [(4 – x) ^ (4 – x)], Re [(4 – x) ^ (4 – x)], Im [64 – x ^ x],
Re [64 – x ^ x]}, {x, -3, 7}, PlotLegends -> “Expresiones”,
PlotRange -> {-5, 65.5}
Una tercera forma útil de analizar este problema es considerar y estudiar la ecuación [matemáticas] {\ displaystyle (4-x) ^ {(4-x)} + x ^ x = 64}. [/ Matemáticas] A continuación se muestra un gráfico de las funciones representadas por las curvas [matemáticas] {\ displaystyle h (x) = (4-x) ^ {(4-x)} + x ^ x} [/ matemáticas] y [matemáticas] k (x) = 64 , [/ math] mostrando sus puntos (reales) de intersección (de Wolfram Alpha):
Analizando el último gráfico anterior y utilizando la función incorporada de Mathematica FindRoot [], la abscisa del primer punto de intersección se puede calcular escribiendo el código:
FindRoot [(4 – x) ^ (4 – x) + x ^ x == 64, {x, 0.5},
Precisión de trabajo -> 200]
El resultado obtenido para el valor numérico de [matemáticas] x [/ matemáticas] (con una precisión de 200 dígitos) es:
0.606098168533500803344739297588442555443075183532328016742745507132445637624306155496387969346823077170923106528968825053601577499670843526632878491730312434517337042108964614969177842128964614969177842
Del mismo modo, la abscisa del segundo punto de intersección se puede calcular escribiendo:
FindRoot [(4 – x) ^ (4 – x) + x ^ x == 64, {x, 3.5},
Precisión de trabajo -> 200]
El resultado obtenido para el valor numérico de [matemáticas] x [/ matemáticas] (con una precisión de 200 dígitos) es:
3,3939018314664991966552607024115574445569248164676719832572544928675543623756938445036120306531769228290768934710311749463984225003291564733671215696875654826629578910353850668214279890230213360590792
Estas son las soluciones reales valoradas para el problema en la pregunta, dadas en este enfoque en términos de [matemáticas] x [/ matemáticas].
Si calculamos [matemáticas] y = 4-x [/ matemáticas] usando el primer valor numérico de [matemáticas] x [/ matemáticas], obtenemos que [matemáticas] y [/ matemáticas] es igual al segundo valor numérico de [matemáticas ] x [/ math], y viceversa.
Tenga en cuenta que las mismas soluciones podrían obtenerse de manera equivalente analizando el primer gráfico (contorno) en esta respuesta y escribiendo:
FindRoot [{y + x == 4, x ^ x + y ^ y == 64}, {{x, 0.5}, {y, 3.5}},
Precisión de trabajo -> 200]
Y:
FindRoot [{y + x == 4, x ^ x + y ^ y == 64}, {{x, 3.5}, {y, 0.5}},
Precisión de trabajo -> 200]
Para estar completo, este problema tiene soluciones valoradas complejas que se pueden calcular usando Mathematica y escribiendo:
FindInstance [(4 – x) ^ (4 – x) + x ^ x == 64, x, 3]
Aquí están los valores numéricos de [math] 3 [/ math] soluciones valoradas complejas.
[matemáticas] \ bullet \ quad x \ aprox -25.22287120718688095599051764628100141865 \\ \ qquad +102.30030862234566712299528951412319658984 i [/ math]
En este caso, el valor numérico de [math] y [/ math] es:
[matemáticas] y = 4-x \\ y \ aprox 29.22287120718688095599051764628100141865 \\ \ quad -102.3003086223456671229952895141231965898 i [/ matemáticas]
[matemáticas] \ bala \ quad x \ aprox -16.252175363885236033213654510741074036973 \\ \ qquad -64.092564672941453315376565979818344101221 i [/ matemáticas]
En este caso:
[matemáticas] y \ aprox 20.25217536388523603321365451074107403697 \\ \ quad +64.09256467294145331537656597981834410122 i [/ matemáticas]
[matemáticas] \ bullet \ quad x \ aprox 22.42036117061352693416607923975926368198 \\ \ qquad-73.10206043971464529655907080691950921741 i [/ math]
[matemáticas] y \ aprox -18.4203611706135269341660792397592636820 \\ \ quad + 73.1020604397146452965590708069195092174 i [/ matemáticas]
La solución hipotética [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática] y = 4 [/ matemática], o viceversa, se ha mencionado en los comentarios. Se puede ver a partir de los diversos gráficos en esta respuesta que esta solución no es válida. Cabe señalar que esta solución implica la expresión [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas], que (según el contexto) puede verse como igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas], como indeterminada o indefinida o inexistente. En cualquier caso, esta solución no se aplica al problema en la pregunta.
Como nota adicional, se obtendría una solución simple, real y entera [matemática] (x = 2, y = 2) [/ matemática] si el problema dado se expresa como: [matemática] x + y = 4 [/ math] y [math] {\ displaystyle (x ^ x + y ^ y) ^ 2 = 64}, [/ math] o como: [math] x + y = 4 [/ math] y [math] {\ displaystyle x ^ x + y ^ y = \ sqrt {64} = 8}. [/ math] Esta será la solución entera para todos los problemas de la forma:
[matemática] x + y = 4 [/ matemática] y [matemática] {\ displaystyle (x ^ x + y ^ y) ^ {2 n} = 64 ^ n = 4 ^ {3 n}}, [/ matemática] donde [math] n [/ math] podría ser un número entero o un número real.
Con respecto a las ecuaciones en la pregunta, el valor principal de [math] y [/ math] puede expresarse en términos de [math] x [/ math] como (verificado con Mathematica):
[matemáticas] {\ displaystyle y = \ frac {\ ln \ left (64-x ^ x \ right)} {W \ left (\ ln \ left (64-x ^ x \ right) \ right)} = e ^ {\ displaystyle W \ left (\ ln \ left (64-x ^ x \ right) \ right)}}, [/ math]
donde [math] W (z) [/ math] es la función Lambert W o la función de registro del producto.
La misma ecuación anterior que involucra el logaritmo del producto puede usarse para expresar el valor principal de [math] x [/ math] en términos de [math] y [/ math].
Las ecuaciones en la pregunta son casos especiales de los siguientes conjuntos de ecuaciones:
[matemáticas] x + y = n; \ quad {\ displaystyle x ^ x + y ^ y = n ^ 3} \ qquad (1) [/ math]
A continuación se muestra un diagrama de contorno de [matemáticas] (nx) ^ {nx} + x ^ x = n ^ 3. [/ Matemáticas] Los puntos en rojo son la solución a esta pregunta, tienen como coordenadas [matemáticas] n = 4 [/ math] y [math] x = 0.606098 … [/ math] o [math] x = 3.3939018 … [/ math]
Se puede observar que las ecuaciones [matemáticas] (1) [/ matemáticas] son válidas para valores restringidos de [matemáticas] n [/ matemáticas]. Estos valores de [math] n [/ math] son tales que [math] 1
Y debajo hay un diagrama de contorno tridimensional que muestra la intersección entre [matemática] x + y = n [/ matemática] y [matemática] {\ displaystyle x ^ x + y ^ y = n ^ 3} [/ matemática] (hecha con Mathematica):
