[matemáticas] x \ log x – x = \ log x. [/ matemáticas]
Deje [math] f (x) = x \ log x – x – \ log x. [/ Math]
[math] \ Rightarrow \ qquad f ‘(x) = \ log x – \ frac {1} {x}. [/ math]
En los puntos críticos, [matemáticas] f ‘(x) = \ log x – \ frac {1} {x} = 0. [/ Matemáticas]
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[matemática] f ‘(1) = \ log 1 – 1 = -1 \ qquad [/ math] y [matemática] \ qquad f’ (2) = \ log 2 – \ frac {1} {2} = 0.193. [/matemáticas]
[math] \ Rightarrow \ qquad f ‘(x) = 0 [/ math] en el intervalo [math] (1,2) [/ math] ya que [math] f (x) [/ math] es una función continua.
[matemáticas] f ” (x) = \ frac {1} {x} + \ frac {1} {x ^ 2}> 0 \, \, \ forall \, \, x \ in (1,2). [/matemáticas]
[math] \ Rightarrow \ qquad f (x) [/ math] alcanza un mínimo global en el intervalo [math] (1,2). [/ math]
[matemáticas] f (0.5) = 2.796, \ qquad f (1) = -1, \ qquad f (3) = -0.803 \ qquad [/ math] y [math] \ qquad f (4) = 0.159. [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow \ qquad f (x) [/ math] tiene dos ceros: uno en el intervalo [math] (0.5,1) [/ math] y el otro en el intervalo [math] (3,4). [/matemáticas]
Como esta función no tiene una solución de forma cerrada, encontraremos los ceros de la función numéricamente por el método de Newton Raphson.
Deje que la primera estimación de x sea [matemática] x_1. [/ Matemática]
Entonces, la segunda y mejor estimación sería [matemáticas] x_2 = x_1 – \ frac {f (x_1)} {f ‘(x_1)}. [/ Matemáticas]
La tercera y mejor estimación sería [matemáticas] x_3 = x_2 – \ frac {f (x_2)} {f ‘(x_2)}. [/ Matemáticas]
Continuamos de esta manera hasta que la diferencia entre dos estimaciones sucesivas sea menor que el error tolerable.
Para este caso particular, tomando la primera estimación [matemática] x_1 = 0.5, [/ matemática] los detalles de las iteraciones son los siguientes:
Entonces, obtenemos la solución como [math] x = 0.44643298. [/ Math]
Para la segunda raíz, tomando la primera estimación [matemática] x_1 = 4, [/ matemática] los detalles de las iteraciones son los siguientes:
Entonces, obtenemos la solución como [math] x = 3.85733483. [/ Math]
