¿Cuál es una ecuación para la línea recta a través del punto (3, 0) que es tangente a la gráfica de y = (x + 3 / x) en un punto en el primer cuadrante?

Answer 1

sea ​​t (x) = m * x + n la línea tangente.
Entonces (3,0) está en esa línea, por lo tanto
t (3) = 0 = 3 * m + n
-> n = -3m
entonces
t (x) = m * x + n = m * x-3m = (x-3) * m

No queremos que esta línea sea tangente a la gráfica y (x) = x + 3 / x = x + 3 * x ^ (- 1) en algún momento.

Entonces debe existir un punto P = (x1, y1) donde y (x1) = t (x1).

También en ese punto, las derivadas son las mismas.

Entonces tenemos

t ‘(x1) = m
y ‘(x1) = (1 + (- 3) * x1 ^ (- 2)) = 1–3 / x1 ^ 2
entonces
m = 1–3 / x1 ^ 2

y obtenemos t (x) = (x-3) * (1–3 / x1 ^ 2)

ahora no hemos usado la condición
y (x1) = t (x1) todavía:

x1 + 3 / x1 = (x1–3) * (1–3 / x1 ^ 2)

Seguramente puede resolver esto para x1, a pesar de que es bastante doloroso.
Y probablemente obtendrá más de una solución para x1.

Ahora recuerde que queremos que x1 sea mayor o igual a 0 (ya que el primer cuadrante significa todos los puntos (x, y) con x, y> = 0)
Deseche los valores negativos de x1 que pueda obtener.

Entonces, una vez que haya encontrado x1, simplemente conéctelo a la fórmula para t (x):
t (x) = (x-3) * (1–3 / x1 ^ 2)

Y obtuviste tu fórmula para la línea tangente.
Es posible que desee esperar el soporte, para que tenga la forma habitual de
… * x + …

Answer 2

Deje que la ecuación de la tangente sea [matemática] y = mx + b [/ matemática]. Observamos que [matemática] b = -3m. [/ Matemática] Escribe [matemática] y = mx-3m. [/ Matemática] Intentamos encontrar la intersección de esta línea con la curva. Entonces, estableciendo

[matemáticas] mx-3m = x + \ dfrac {3} {x} [/ matemáticas]

manipulamos hasta que tengamos la [matemática] cuadrática (m-1) x ^ 2-3mx-3 = 0. [/ matemática]

Por tangencia, insistimos en que [matemática] 9m ^ 2 + 12 (m-1) = 0. [/ Matemática]

Es decir, [matemáticas] 3m ^ 2 + 4m-4 = 0. [/ Matemáticas]

Resolviendo, m = [matemáticas] \ dfrac {2} {3} [/ matemáticas] o [matemáticas] -2 [/ matemáticas].

Entonces [matemáticas] b = -2 [/ matemáticas] o [matemáticas] 6 [/ matemáticas] y las ecuaciones de la tangente son [matemáticas] y = \ dfrac {2} {3} x-2 [/ matemáticas] o [ matemática] y = -2x + 6. [/ matemática] La tangente a la curva en el primer cuadrante es la última.