¿Cuál es la ecuación del círculo que pasa por los puntos [matemática] (1,1) [/ matemática], [matemática] (1, -1) [/ matemática] y es ortogonal a [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = 4 [/ matemáticas]?

Answer 1

Parece que el Sr. McRae está liderando el camino últimamente y yo, humildemente, lo sigo.

Aquí hay una solución de este problema solo con herramientas euclidianas:

construya un círculo que pase por dos puntos distintos fijos [matemática] P_1 [/ matemática] y [matemática] P_2 [/ matemática] y sea ortogonal a un círculo fijo dado [matemática] q (Q, r) [/ matemática]

La solución, corta, elegante y hermosa, se debe a la inversión con respecto a un círculo en un plano real / complejo.

Es una técnica útil que puede ser útil en varias Olimpiadas, ya que, a veces, permite una solución rápida de un problema que, de lo contrario, podría parecer insoluble.

El algoritmo (general) (que armé después de resolver algunos problemas):

• elija un conveniente centro de inversión
• elija un radio de inversión conveniente
• elija un conveniente poder de inversión
• Invierta los objetos originales con respecto al círculo de inversión que se encuentra en los pasos anteriores
• resolver un problema (presumiblemente más fácil) en términos de los objetos invertidos
• Con la preservación de ángulos y puntos tangentes y otras propiedades básicas de inversión, convierta la solución en términos de los objetos invertidos obtenidos en el paso anterior en la solución en términos de los objetos originales.

Veamos cómo se desarrolla este algoritmo con este problema en particular (el círculo de notación [matemática] q (Q, r) [/ matemática] simplemente significa que le dimos un círculo con el centro en [matemática] Q [/ matemática] y el radio [matemáticas] r [/ matemáticas] un nombre [matemáticas] q [/ matemáticas]).

Solución: en un plano fijo dado, los objetos (fijos) dados [matemática] P_1, P_2 [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática] pueden posicionarse uno con respecto al otro de varias maneras: ambos puntos afuera o ambos puntos dentro de [math] q [/ math], un punto adentro mientras que el otro está afuera de [math] q [/ math], solo un punto en la circunferencia de [math] q [/ math], ambos puntos en La circunferencia de [math] q [/ math], los tres puntos [math] P_1, P_2 [/ math] y [math] Q [/ math] son ​​colineales, etc.

Consideremos un caso cuando existe una solución interesante (no trivial): ambos puntos están dentro de [math] q [/ math] y no son colineales con [math] Q [/ math].

A partir de la definición de inversión y círculos ortogonales se puede mostrar (haga una pregunta por separado si es necesario) que cualquier círculo [matemática] s [/ matemática] que pase por dos puntos [matemática] P [/ matemática] y [matemática] P ‘[ / matemática] inversa entre sí con respecto a un círculo [matemática] q (Q, r) [/ matemática] con potencia positiva es ortogonal a [matemática] q [/ matemática]. Por lo tanto,

Paso 1: elija un centro de inversión conveniente – hágalo [matemática] Q [/ matemática], el centro del círculo dado [matemática] q [/ matemática]

Paso 2: elija un radio de inversión conveniente: hágalo [math] r [/ math], el radio del círculo dado [math] q [/ math]

Paso 3: elija un poder de inversión conveniente: hágalo positivo

Paso 4: invierta los objetos originales con respecto al círculo de inversión que se encuentra en los pasos anteriores

Aquí invertimos el primer punto dado [matemática] P_1 [/ matemática] con respecto a [matemática] q [/ matemática] con potencia positiva en su imagen [matemática] P_1 ′ [/ matemática] y bisectamos el segmento de línea [matemática] P_1P_1 ′ [/ Math] con [math] b_1 [/ math]:

Cualquier círculo, del cual habrá infinitos, con su centro en [matemática] b_1 [/ matemática] y pasando por [matemática] P_1 [/ matemática] y [matemática] P_1 ′ [/ matemática] será ortogonal a [matemática ] q [/ matemáticas].

Pero tenemos el segundo punto. Por lo tanto, invierta el segundo punto dado [matemática] P_2 [/ matemática] con respecto a [matemática] q [/ matemática] con potencia positiva en su imagen [matemática] P_2 ′ [/ matemática] y bisecte el segmento de línea [matemática] P_2P_2 ′ [/ Math] con [math] b_2 [/ math]:

Cualquier círculo, del cual habrá infinitos, con su centro en [matemática] b_2 [/ matemática] y pasando por [matemática] P_2 [/ matemática] y [matemática] P_2 ′ [/ matemática] será ortogonal a [matemática ] q [/ matemáticas].

Por lo tanto, siempre que [math] b_1 [/ math] y [math] b_2 [/ math] se crucen (en el plano dado), digamos en [math] S [/ math], existe una solución única cirlce [math] s (S, R = | SP_1 | = | SP_2 | = | SP_1 ′ | = | SP_2 ′ |) [/ math] que pasa por dos puntos (distintos, fijos) [math] P_1 [/ math] y [math] ] P_2 [/ math] y es ortogonal a [math] q: [/ math]

En suma:

• invertir [matemática] P_1 [/ matemática] wrt [matemática] q (Q, r) [/ matemática] en [matemática] P_1 ′ [/ matemática]
• bisecar [matemática] P_1P_1 ′ [/ matemática] con [matemática] b_1 [/ matemática]
• invertir [matemática] P_2 [/ matemática] wrt [matemática] q (Q, r) [/ matemática] en [matemática] P_2 ′ [/ matemática]
• bisecar P [matemáticas] _2P_2 ′ [/ matemáticas] con [matemáticas] b_2 [/ matemáticas]
• si [matemática] b_1 [/ matemática] y [matemática] b_2 [/ matemática] se cruzan en [matemática] S [/ matemática] entonces
• el círculo [math] s (S, R = | SP_1 | = | SP_2 | = | SP_1 ′ | = | SP_2 ′ |) [/ math] es la solución única que se busca

(en este caso, los dos puntos son [matemática] P_1 = (1, 1) [/ matemática] y [matemática] P_2 = (1, -1) [/ matemática] y el círculo dado es [matemática] q (O, 2) [/ matemáticas])

Answer 2

¿Cuál es la ecuación del círculo que pasa por los puntos (1,1), (1, -1) y es ortogonal a x ^ 2 + y ^ 2 = 4?

Un acorde del primer círculo tiene puntos finales [matemática] (1,1) [/ matemática] y [matemática] (1, -1) [/ matemática] por lo que el centro del primer círculo está en la bisectriz perpendicular de esa cuerda, que es la línea [matemática] y = 0. [/ matemática] Sea [matemática] c [/ matemática] la coordenada [matemática] x [/ matemática] del centro del primer círculo y deje [matemática] r_1 [ / math] sea el radio del primer círculo, entonces

[matemáticas] \ qquad r_1 ^ 2 = (c-1) ^ 2 + (\ pm 1) ^ 2 = c ^ 2–2c + 2 [/ matemáticas]

Dos círculos son ortogonales si la suma de los cuadrados de sus radios es igual al cuadrado de la distancia entre sus centros. [1] El radio del segundo círculo es 2, y la distancia entre los centros de los círculos es [matemática] c, [/ matemática]

[matemáticas] \ qquad r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 = d ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad c ^ 2-2c + 6 = c ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad c = 3 [/ matemáticas]

Entonces, el centro del primer círculo es [matemática] (3,0), [/ matemática] y [matemática] r_1 ^ 2 = c ^ 2–2c + 2 = 5, [/ matemática] así que su ecuación es

[matemáticas] \ qquad (x-3) ^ 2 + y ^ 2 = 5. [/ matemáticas]

Verifiquemos si este círculo pasa por los puntos [matemática] (1,1) [/ matemática] y [matemática] (1, -1). [/ Matemática] Sí, [matemática] (1-3) ^ 2 + (\ pm 1) ^ 2 = 5. [/ math] Ahora, verifiquemos si los dos círculos son ortogonales. Sí, [matemática] r_1 ^ 2 = 5, [/ matemática] [matemática] r_2 ^ 2 = 4, [/ matemática] y [matemática] d ^ 2 = 9, [/ matemática] y de hecho [matemática] 5 + 4 = 9. [/ Matemáticas]

Notas al pie

[1] Círculos ortogonales

Answer 3

VI

Considere los círculos [matemática] {x ^ 2} + {y ^ 2} + 2gx + 2fy + c = 0 [/ matemática]

y [matemáticas] {x ^ 2} + {y ^ 2} + 2Gx + 2Fy + C = 0. [/ matemáticas]

Son ortogonales si [matemática] 2gG + 2fF = c + C. [/ Matemática]

Pero, en nuestro caso, [matemáticas] G = F = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] C = -4. [/ Matemáticas] Por lo tanto, [matemáticas] c = 4. [/ Matemáticas]

Entonces la ecuación requerida es [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + 4 = 0. [/ matemática] Y con [matemática] (1,1) [/ matemática] y [matemática] (1, – 1) [/ math] estando en el círculo, encontramos que [math] g = -3 [/ math] y [math] f = 0 [/ math] y además que la ecuación es

[matemáticas] {(x – 3) ^ 2} + {y ^ 2} = 5 [/ matemáticas].

Answer 4

Como la respuesta de Graeme McRae proporciona la intuición geométrica y la solución, redactaré la solución analítica del problema aquí abajo. Si tiene alguna duda, no dude en comentar.

Deje [matemáticas] S_1: x ^ 2 + y ^ 2-4 = 0 [/ matemáticas]

y [math] S_2 [/ math] será el círculo requerido. Entonces,

[matemáticas] \; [/ matemáticas]

• Condición para la ortogonalidad:

[matemáticas] 2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica c_2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \; [/ matemáticas]

• Familia de círculos a través de los puntos dados:

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2-2x + \ lambda (x-1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \; [/ matemáticas]

Combinando las dos condiciones, obtenemos

[matemáticas] \ lambda = -4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] El círculo requerido es:

[matemáticas] \ en caja {S_2: x ^ 2 + y ^ 2-6x + 4 = 0} [/ matemáticas]

o [matemáticas] S_2: (x-3) ^ 2 + y ^ 2 = 5 [/ matemáticas]

o [matemáticas] S_2 \ left [(3,0); \ sqrt {5} \ right] [/ math]

Answer 5

Un círculo que es ortogonal a otro círculo se asigna a sí mismo tras la inversión con respecto a ese círculo (geometría inversiva – Wikipedia). Por lo tanto, el círculo debe contener la imagen de los dos puntos especificados bajo inversión, es decir, los puntos (2,2) y (2, -2).

Por simetría, el centro debe estar en el eje x. También debe intersecar el punto medio normal del segmento entre (1,1) y (2,2), que es una línea en ángulo de 45 grados hacia abajo desde el punto (3 / 2,3 / 2). Esto intersecará el eje x en el punto (3,0). Entonces el centro del círculo está en (3,0). La distancia al cuadrado desde ese punto hasta (1,1) es 5, por lo que la ecuación del círculo es [matemática] (x – 3) ^ 2 + y ^ 2 = 5 [/ matemática].