¿Cuál es una explicación simple para la ecuación general del segundo grado?

Answer 1

– ¿Puedes resolver [matemáticas] x ^ 2 = 9 [/ matemáticas]?

– Sí: [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas].

– Hay otra solución.

– Oh, sí, [matemáticas] x = -3 [/ matemáticas] también funciona.

– Bueno. ¿Qué tal [matemáticas] (x + 1) ^ 2 = 9 [/ matemáticas]?

– Bueno, sé que [matemáticas] (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + [/ matemáticas] …

– ¡Detener! Resiste el reflejo para expandir esto. Es más fácil si no lo haces.

– Pero, ¿cómo puedo resolver [matemáticas] (x + 1) ^ 2 = 9 [/ matemáticas] sin expandir el cuadrado?

– Ya resolviste una ecuación muy similar hace un momento.

– Pero convertir [matemáticas] x [/ matemáticas] en [matemáticas] x + 1 [/ matemáticas] cambia todo.

– Hay otra forma de verlo: dale a [math] x + 1 [/ math] un nuevo nombre, como [math] u [/ math].

– Ok, ¿cómo ayuda eso?

– ¿Cuál es la ecuación ahora?

– Es [matemáticas] u ^ 2 = 9 [/ matemáticas]. Pero eso es trampa!

– No, no has hecho nada malo. ¿Qué es [math] u [/ math]?

– Es 3 o -3.

– Derecha. Entonces, ¿qué es [matemáticas] x [/ matemáticas]?

– Bueno [matemática] u = x + 1 [/ matemática], entonces [matemática] x [/ matemática] es 2 o -4.

– Brillante ¡Acabas de resolver [matemáticas] x ^ 2 + 2x + 1 = 9 [/ matemáticas] mirándolo de una manera diferente!

– Sí, bueno, pero lo inventaste para que funcione bien. ¿Y si no fuera así?

– ¿Qué familia general de ecuaciones crees que puedes resolver ahora?

– Um, cosas como [matemáticas] (x + \ mbox {blah}) ^ 2 = \ mbox {lo que sea} [/ matemáticas]. Solo le doy a [math] x + \ mbox {blah} [/ math] un nuevo nombre, resuelvo y recupero [math] x [/ math].

– Exactamente ¿Y adivina qué? Esto es suficiente para resolver cualquier ecuación de segundo grado.

– ¿eh?

– Supongamos que te doy [matemáticas] x ^ 2 + 10x = 11 [/ matemáticas]. ¿Qué harías?

– No tengo idea. No se parece en nada a [matemáticas] (x + \ mbox {blah}) ^ 2 = \ mbox {cualquier cosa} [/ matemáticas].

– No seas tan pesimista. ¿Ves que [math] \ mbox {blah} = 5 [/ math] casi funciona?

– ¿Cómo “casi”? ¿Por qué 5?

– Intentalo.

– Bueno [matemáticas] (x + 5) ^ 2 = x ^ 2 + 10x + 25 [/ matemáticas]. Pero eso no es lo que hay en la ecuación.

– ¿Que es?

– Solo [matemáticas] x ^ 2 + 10x [/ matemáticas].

– … que ahora sabes es [matemáticas] (x + 5) ^ 2-25 [/ matemáticas].

– Oh. Derecha. Entonces la ecuación es [matemáticas] (x + 5) ^ 2-25 = 11 [/ matemáticas].

– …cual es…

– [matemáticas] (x + 5) ^ 2 = 36 [/ matemáticas].

– …entonces…

– Renombro [matemática] x + 5 [/ matemática] a [matemática] u [/ matemática] (todavía se siente como hacer trampa), obtengo [matemática] u ^ 2 = 36 [/ matemática], entonces [matemática] u [ / math] es 6 o -6 y [math] x [/ math] es 1 o -11. ¿Eso es?

– Si. ¿Qué tipo de ecuaciones puedes resolver ahora?

– Bueno, parece que puedo manejar [matemáticas] x ^ 2 + \ mbox {algo} \, \, x = \ mbox {lo que sea} [/ matemáticas], siempre que [matemáticas] \ mbox {algo} [/ matemáticas] incluso.

– ¿Por qué necesitas [math] \ mbox {something} [/ math] para ser parejo?

– Porque lo que hiciste allí fue tomar ese [math] \ mbox {algo} [/ math], que era 10, y tomar la mitad para que sea [math] \ mbox {blah} [/ math].

– Eso es correcto. ¿Entonces no puedes tomar la mitad de 7?

– Puedo, pero es una fracción.

– ¿Entonces?

– Odio las fracciones.

– Jajaja ok. Pero funcionan igual.

– bien. Entonces puedo manejar [matemáticas] x ^ 2 + \ mbox {algo} \, \, x = \ mbox {lo que sea} [/ matemáticas]. Tomo la mitad de [math] \ mbox {algo} [/ math], lo llamo [math] \ mbox {blah} [/ math], encuentro la corrección para poder escribir [math] (x + \ mbox {blah} ) ^ 2- \ mbox {corrección} = \ mbox {lo que sea} [/ matemática], mueva los números juntos, cambie el nombre de [matemática] x + \ mbox {blah} [/ matemática] a [matemática] u [/ matemática], y resolver.

– excelente. ¿Puedes hacer lo que acabas de decir con letras en lugar de bla y lo que sea?

– Creo que sí:

[matemáticas] x ^ 2 + 2bx = c [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + b) ^ 2-b ^ 2 = c [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + b) ^ 2 = c + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + b = \ pm \ sqrt {c + b ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -b \ pm \ sqrt {c + b ^ 2} [/ matemáticas].

– excelente. Por lo general, escribimos un cuadrático como [math] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ math], pero puedes dividirlo entre [math] a [/ math] y mover la constante al otro lado para obtener exactamente qué acabas de resolverlo. Ya terminaste!

Answer 2

Los babilonios no tenían álgebra, ni números arábigos, ni números negativos, pero se les ocurrió una ingeniosa derivación de esta ecuación. A pesar de tener 4000 años, sigue siendo la derivación más simple y elegante que he visto.

Mira este video, que tiene excelentes imágenes de todo de lo que voy a hablar.

Parte 1

Primero, vamos a demostrar algo que parece no tener ninguna relación: que cada rectángulo se puede reorganizar en un cuadrado grande con un cuadrado más pequeño cortado.

Considere un rectángulo con longitud L y ancho W. Corte un rectángulo más pequeño, de tamaño (LW) / 2 por W, fuera del rectángulo. La pieza restante tiene una longitud L- (LW) / 2 = (L + W) / 2.

Ahora, gire la pieza de corte 90 grados y fíjela a la pieza restante en la parte inferior derecha. Esto formará una forma de L que en realidad es un cuadrado más grande con un cuadrado más pequeño cortado. El cuadrado más grande tiene tamaño (L + W) / 2; el cuadrado más pequeño tiene tamaño (LW) / 2.

Por lo tanto, el área del rectángulo es igual a la diferencia de cuadrados:

[matemáticas] LW = (\ frac {L + W} {2}) ^ 2 – (\ frac {LW} {2}) ^ 2 [/ matemáticas]

Parte 2

Ahora pasamos a la fórmula cuadrática: ax ^ 2 + bx + c = 0, que se puede escribir como:

[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {b} {a} x = – \ frac {c} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] x (x + \ frac {b} {a}) = – \ frac {c} {a} [/ matemáticas]

Esta es la forma que usaban los babilonios. Observe que el lado izquierdo es simplemente el área de un rectángulo con W = x y L = x + b / a. Usando el resultado que obtuvimos en la parte 1, podemos escribir:

[matemáticas] x (x + \ frac {b} {a}) = (\ frac {x + x + \ frac {b} {a}} {2}) ^ 2 – (\ frac {x + \ frac {b} { a} – x} {2}) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 – (\ frac {b} {2a}) ^ 2 = – \ frac {c} {a} [/ matemáticas]

Los babilonios no sabían sobre números negativos, y no habrían considerado soluciones negativas. Pero debido a las maravillas del álgebra moderna, podemos reorganizar y reescribir la ecuación como:

[matemáticas] (x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = (\ frac {b} {2a}) ^ 2 – \ frac {c} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]

Answer 3

La ecuación general del segundo grado tendría dos variables, X e Y. Suponiendo que es posible una separación de las variables X e Y, entonces la ecuación se puede expresar con Y como una ecuación de segundo grado (es decir, cuadrática) en X, donde Y = AX ^ 2 + BX + C.

Los griegos modelaron versiones específicas de estas ecuaciones geométricamente, que puede ser la explicación simple que se busca aquí. Cuando un plano se cruza con un cono, pasando a través del cono: (1) en un ángulo agudo hacia un lado (cortando todo el cono), la curva de intersección es una elipse; (2) paralela al eje del cono, la curva de intersección es una parábola; (3) oblicua al lado del cono, la curva de intersección es una hipérbola.

Curiosamente, estas curvas se pueden generar completamente a través de la geometría plana, o euclidiana bidimensional.
(1) Dado un plano que contiene una línea (eje) con dos puntos distintos (focos). Para cualquier longitud L mayor que la distancia entre los focos, una elipse es el conjunto de puntos para los cuales la suma de las distancias desde un punto a cada foco es igual a L. (El caso degenerado, donde los focos son coincidentes, es un círculo. ) Esto se puede demostrar fácilmente con dos tachuelas que fijan una cuerda floja y una punta de lápiz.
(2) Dado un plano que contiene una línea (directriz) y un punto (foco) que no está en la línea. Dibuje un segmento desde el foco perpendicular a la directriz y biseque ese segmento, dejando la porción que toca la directriz. Del mismo modo, llene el plano con segmentos perpendiculares que toquen la directriz, donde el otro extremo de cada segmento es equidistante de la directriz y el foco. La curva generada es una parábola. Esto se puede demostrar con una chincheta, un cuadrado de carpintero, un carrete con dos cuerdas contrarrestadas y una punta de lápiz.
(3) La generación de la hipérbola se deja como un ejercicio para el alumno.

Answer 4

Por un método llamado completar el cuadrado.

Supongo que no está familiarizado con esta técnica (podría estar equivocado), así que comenzaré mi respuesta explicando qué significa realmente “completar el cuadrado”, y luego mostraré cómo se puede usar para derivar la fórmula cuadrática.

Veamos la ecuación [matemáticas] (x-6) ^ 2 = 900. [/ Matemáticas] Cuadrática simple, ¿verdad? Si se le pidiera a un estudiante de secundaria que resolviera esta ecuación, probablemente comenzaría expandiendo los corchetes usando la fórmula de factorización [matemática] (ab) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 [/ matemática], y luego él tendría esta ecuación:

[matemáticas] x ^ 2-12x + 36 = 900 [/ matemáticas]

Luego combinaría términos similares y obtendría:

[matemáticas] x ^ 2-12x-864 = 0 [/ matemáticas]

A partir de aquí, probablemente intentaría adivinar las soluciones utilizando las fórmulas de Vieta o simplemente conectaría los coeficientes a la fórmula cuadrática y descubriría que las soluciones son x = 36, -24.

Fiar Técnicamente, no hay nada de malo en esta forma. Sin embargo, es terriblemente ineficiente. La ecuación podría resolverse por medios mucho más simples.

Echemos un vistazo a la forma original de la ecuación una vez más:

[matemáticas] (x-6) ^ 2 = 900 [/ matemáticas]

Ambos lados son cuadrados (en realidad, cada número positivo es un cuadrado de otro número, pero en este caso, 900 es un cuadrado de 30, que es un número entero, y es mucho mejor trabajar con números enteros que con fracciones). Como ambos son cuadrados, podemos sacar una raíz cuadrada de ambos y obtener esto:

[matemáticas] x-6 = ± 30 -> x-6 = 30, x-6 = -30 -> x = 36, x = -24 [/ matemáticas]

¡La forma única de la ecuación nos permitió resolverla en segundos! Completar el cuadrado es una técnica que se puede usar para transformar un cuadrático que se ve así:

[matemáticas] x ^ 2-12x-864 = 0 [/ matemáticas]

En una cuadrática que se ve así:

[matemáticas] (x-6) ^ 2 = 900 [/ matemáticas] (Recuerde que estas 2 ecuaciones son una y la misma)

Una vez que haya transformado su cuadrático en la última forma, puede resolver la ecuación con el método extremadamente simple que se muestra arriba. (Sacando el cuadrado de ambos lados). Veamos cómo se hace realmente.

Eche un vistazo a la siguiente ecuación: [matemáticas] x ^ 2 + 10x-24 = 0 [/ matemáticas]. Observe los primeros dos términos, específicamente: [matemática] x ^ 2 + 10x. [/ Matemática] Son similares a los primeros 2 términos de la fórmula general: [matemática] (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2. [/ math] Vamos a conectar los 2 primeros términos de la ecuación en la fórmula ([math] x ^ 2 + 10x = a ^ 2 + 2ab). [/ Math] Entonces tendremos:

[matemáticas] (x + b) ^ 2 = x ^ 2 + 10x + b ^ 2 [/ matemáticas]

Desde aquí es bastante fácil encontrar el valor de b. Resolvamos la ecuación para b:

[matemáticas] x ^ 2 + 2bx + b ^ 2 = x ^ 2 + 10x + b ^ 2 -> 2bx = 10x -> 2b = 10 -> b = 5 [/ matemáticas]

Al conectar b en la expresión anterior ([math] (x + b) ^ 2 = x ^ 2 + 10x + b ^ 2 [/ math]) obtenemos:

[matemática] (x + 5) ^ 2 = x ^ 2 + 10x + 25 [/ matemática] (Llamémosla Expresión A )

Ahora volvamos a la ecuación original que pretendíamos resolver: [matemática] x ^ 2 + 10x-24 = 0. [/ matemática] Al usar la expresión A, podemos expresar [matemática] x ^ 2 + 10x [/ matemática] como esto: [matemáticas] (x + 5) ^ 2 – 25 = x ^ 2 + 10x [/ matemáticas]

Al conectarlo a nuestra ecuación original, obtenemos:

[matemáticas] (x + 5) ^ 2-25-24 = 0 [/ matemáticas]

Después de recopilar términos similares y, obtenemos:

[matemáticas] (x + 5) ^ 2 = 49 [/ matemáticas]

¡Lo hicimos! ¡Completamos la plaza! Ahora podemos simplemente sacar una raíz cuadrada de ambos lados y resolver la ecuación:

[matemáticas] x + 5 = ± 7 -> x + 5 = 7, x + 5 = -7 -> x = 2, x = -12 [/ matemáticas]

¡Ecuación resuelta!

Demostraré otro ejemplo antes de pasar al tema de su pregunta original. Eche un vistazo a la siguiente ecuación: [matemáticas] x ^ 2-14x + 33 = 0 [/ matemáticas]

De nuevo, los primeros 2 términos recuerdan la fórmula general [matemáticas] (ab) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2. [/ math] Vamos a conectar nuestros primeros 2 términos de la ecuación en la fórmula así:

[matemáticas] (xb) ^ 2 = x ^ 2-14x + b ^ 2 -> x ^ 2-2bx + b ^ 2 = x ^ 2-14x + b ^ 2 -> -2bx = -14x -> b = 7 [/ matemáticas]

Desde aquí podemos decir que: [matemáticas] (x-7) ^ 2 = x ^ 2–14x + 49 [/ matemáticas], y luego eso: [matemáticas] (x-7) ^ 2–49 = x ^ 2 –14x [/ matemáticas]

Podemos conectarlo a nuestra ecuación original ([matemáticas] x ^ 2-14x + 33 = 0) [/ matemáticas] y obtener:

[matemáticas] (x-7) ^ 2–49 + 33 = 0 [/ matemáticas]

Después de recopilar términos similares, obtenemos:

[matemáticas] (x-7) ^ 2 = 16 [/ matemáticas]

Saquemos una raíz cuadrada de ambos lados: [matemáticas] x-7 = ± 4 -> x-7 = 4, x-7 = -4 -> x = 11, x = 3. [/ Matemáticas]

Ahora que ha aprendido cómo completar el cuadrado, aquí hay una buena imagen (no la hice) que explica cómo usarla para derivar la fórmula cuadrática:

Answer 5

Asumir:

[matemáticas] \ displaystyle ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Resta [math] c [/ math] de ambos lados:

[matemáticas] \ displaystyle ax ^ 2 + bx = -c [/ matemáticas]

Divide ambos lados entre [matemáticas] a [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 + \ frac {b} {a} x = – \ frac {c} {a} [/ matemáticas]

Agregue [math] \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} [/ math] a ambos lados:

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} = – \ frac {c} {a} + \ frac {b ^ 2} { 4a ^ 2} [/ matemáticas]

Factorizar el lado izquierdo:

[matemáticas] \ displaystyle \ left (x + \ frac {b} {2a} \ right) \ left (x + \ frac {b} {2a} \ right) = – \ frac {c} {a} + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ left (x + \ frac {b} {2a} \ right) ^ 2 = – \ frac {c} {a} + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} [/ math]

Tome la raíz cuadrada de ambos lados, recordando que hay dos valores posibles:

[matemáticas] \ displaystyle x + \ frac {b} {2a} = \ pm \ sqrt {- \ frac {c} {a} + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}} [/ math]

Reste [math] \ frac {b} {2a} [/ math] de ambos lados:

[matemáticas] \ displaystyle x = \ pm \ sqrt {- \ frac {c} {a} + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}} – \ frac {b} {2a} [/ math]

Simplificar:

[matemáticas] \ displaystyle x = \ pm \ sqrt {- \ frac {4ac} {4a ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}} – \ frac {b} {2a} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}} – \ frac {b} {2a} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ pm \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {\ sqrt {4a ^ 2}} – \ frac {b} {2a} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ pm \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} – \ frac {b} {2a} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

Answer 6

Una ecuación general del segundo grado toma la forma

x ^ 2 – 2ax + b = 0,

donde los coeficientes a, b son números dados. Resolver tal ecuación significa encontrar números r, s para los cuales

x ^ 2 – 2ax + b = (x – r) (x – s),

desde entonces evidentemente obtenemos cero en el lado derecho cuando sustituimos x = r o x = s en el lado izquierdo.

Pero cuando multiplicamos el lado derecho de esta última ecuación (usando la ley distributiva), encontramos que si es para todos los valores de x, entonces debemos tener

2a = r + s

b = rs.

Entonces, resolver una ecuación general del segundo grado equivale a encontrar dos números r, s cuya suma y producto se dan.

Sorprendentemente, la mejor y más esclarecedora forma de hacerlo es también la más antigua: de hecho, el método ya era familiar para los babilonios en 1600 a. C.

El primer paso en el método de solución babilónico es notar que

a = (r + s) / 2,

para que el número dado, a, sea solo el promedio de los dos números desconocidos r, s.

El siguiente paso es notar que los dos números desconocidos r, s deben diferir de su promedio, a, en la misma cantidad, u:

r = a + u

s = a – u,

donde es fácil ver eso

u = (r – s) / 2.

Y el paso final en el método babilónico es usar la relación rs = b que especifica el producto de los dos números desconocidos:

rs = (a – u) (a + u) = a ^ 2 – u ^ 2 = b,

de donde se deduce fácilmente que

u ^ 2 = a ^ 2 – b,

Una ecuación que expresa u ^ 2 en términos de los números dados a, b.

El resultado ahora es que

r = a + sqrt (a ^ 2 – b)

s = a – sqrt (a ^ 2 – b),

donde sqrt (a ^ 2 – b) es una de las dos raíces cuadradas de a ^ 2 – b.

Pero, ¿cuál de estas dos raíces cuadradas deberíamos usar?

Bueno, dado que difieren solo por un signo general, cambiar de uno a otro tiene exactamente el mismo efecto que cambiar r y s, y dado que lo único que sabemos sobre r y s es su suma y producto, que permanecen sin cambios cuando Cambie r y s, apenas podemos esperar llegar a un resultado que nos permita distinguirlos.

Es decir, no tenemos ni debemos obtener una respuesta a nuestro problema que distinga entre r y s. No sabemos qué raíz cuadrada usar, y es exactamente esta inevitable ambigüedad lo que garantiza la perfecta indistinguibilidad de r y s.

(Vale la pena agregar, como una especie de posdata, que todo este argumento puede formularse pictóricamente, de una manera esencialmente libre de anotaciones. La idea clave es representar las dos incógnitas r, s como los lados de un rectángulo. Uno luego usa cuatro copias idénticas de ese rectángulo para formar un cuadrado grande, de longitud lateral r + s, con un agujero cuadrado, de longitud lateral r – s, en su centro. Desde el área, (r + s) ^ 2, del se conoce un cuadrado grande, y también se conoce el área, 4rs, de los cuatro rectángulos, la diferencia, (r + s) ^ 2 – 4rs = (r – s) ^ 2, que es el área del agujero cuadrado central, está completamente determinado a partir de la información dada, y de r + sy r – s es trivial recuperar r y s individualmente).

Answer 7

Si de alguna manera resolvemos la ecuación general [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] entonces tendríamos el valor de [matemática] x [/ matemática] en términos de los coeficientes [matemática] a [/ matemática ], [matemática] b [/ matemática], [matemática] c [/ matemática], que podemos llamar la “fórmula general”.

Antes de iniciar ese proceso, debemos observar algunos tipos de ecuaciones cuadráticas especiales. Echemos un vistazo a la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + 2px + p ^ 2 = 0 [/ matemáticas]. Notamos que el trinomio [matemático] x ^ 2 + 2px + p ^ 2 [/ matemático] es el cuadrado del polinomio lineal [matemático] x + p [/ matemático]. Por lo tanto, la ecuación se puede volver a escribir como [matemáticas] (x + p) ^ 2 = 0, [/ matemáticas] que nos da [matemáticas] x = -p [/ matemáticas]. Pero, ¿qué pasa si la ecuación es [matemáticas] x ^ 2 + 2px + q = 0? [/ Matemáticas]. Entonces usaríamos un truco. Observe que ([math] x ^ 2 + 2px) [/ math] solo necesita [math] p ^ 2 [/ math] para que se convierta en un cuadrado perfecto. Entonces sumamos y restamos [math] p ^ 2 [/ math].

es decir, [matemáticas] x ^ 2 + 2px + p ^ 2-p ^ 2 + q = 0 [/ matemáticas]

=> [matemáticas] (x + p) ^ 2 = p ^ 2 – q [/ matemáticas]

=> [matemáticas] x + p = \ pm \ sqrt {p ^ 2 – q} [/ matemáticas]

=> [matemáticas] x = \ pm \ sqrt {p ^ 2 – q} – p [/ matemáticas]

Entonces, ahora conoces algunos trucos y estás equipado para derivar la fórmula.

Tenemos [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Dividiendo ambos lados por un,

[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {bx} {a} + \ frac {c} {a} = 0 [/ matemáticas] _________ (i)

Deje [math] \ frac {b} {a} [/ math] [math] = 2p, [/ math] y [math] \ frac {c} {a} = q [/ math], por lo tanto, [math] p = \ frac {b} {2a} [/ matemáticas]

Al poner [math] \ frac {b} {a} = 2p [/ math] y [math] \ frac {c} {a} = q, [/ math] en (i) obtenemos

tenemos [matemáticas] x ^ 2 + 2px + q = 0 [/ matemáticas]

Espera un minuto, acabamos de resolver esta ecuación (arriba). Conocemos la solución, es decir

[matemáticas] x = \ pm \ sqrt {p ^ 2 – q} – p [/ matemáticas]

Reemplazar los valores de p y q, es decir, [matemática] p = \ frac {b} {2a} [/ matemática] y [matemática] \ frac {c} {a} = q [/ matemática],

[matemáticas] x = \ pm \ sqrt {(\ frac {b} {2a}) ^ 2 – \ frac {c} {a}} – \ frac {b} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac {4ac} {4a ^ 2}} – \ frac {b} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}} – \ frac {b} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ pm {\ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}} – \ frac {b} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac} – b} {2a} [/ matemáticas]

Entonces, allí tienes una fórmula brillante (en tus exámenes, llámala “fórmula general”) que puede resolver mágicamente cualquier ecuación cuadrática, y ahora sabes por qué funciona.

Gracias por leer.

Atentamente,

Mathemajician, Steve

Answer 8

Hacha ^ 2 + Bx + c

La razón para usar A, B y C es esta:

¿Qué pasa si tienes ..

x ^ 2 + 3x + 4? ¿Es un polinomio de segundo grado?

¿Qué pasa con 2x ^ 2 + 4?

¿Eso cuenta?

5x ^ 2 + 5x?

La idea es que todas son variables, pueden ser cualquier cosa. Entonces, si lo guarda como una variable, que puede igualar cualquier cosa, entonces su respuesta está usando variables genéricas.

Entonces obtenemos
Hacha ^ 2 + Bx + C

O podrías llamarlo, decir …

WX ^ 2 + FrenchVanillaCreamer X + R

Las variables pueden ser cualquier cosa, pero AX ^ 2 + BX + C es exactamente lo que utilizaron.

Answer 9

La ecuación cuadrática se deriva al completar el cuadrado en un polinomio general (coeficientes a, b, c).