¿Qué son las ecuaciones polinómicas?

Un polinomio [matemático] P (x [/ matemático]) tiene la forma

[matemáticas] P (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ cdots + a_ {n} x ^ {n} \ etiqueta 1 [/ matemáticas]

En (1) los valores [matemática] a_ {0}, a_ {1}, \ cdots, a_ {n} [/ matemática] se conocen como coeficientes y generalmente son números reales . El valor de [math] n [/ math] es un entero positivo y se determina como el grado del polinomio.

En la práctica, una vez que [math] n [/ math] es conocido y [math] a_ {0}, \ cdots, a_ {n} [/ math] son ​​valores asignados, las cosas parecen mucho menos aterradoras. Entonces, por ejemplo, si [matemática] n = 2 [/ matemática] y [matemática] a_ {0} = 1 [/ matemática], [matemática] a_ {1} = – 3 [/ matemática] y [matemática] a_ {2} = 2 [/ math] entonces tenemos

[matemáticas] P (x) = 1–3x + 2x ^ {2} \ etiqueta 2 [/ matemáticas]

En (2) incluso puedes escribir los coeficientes al revés

[matemáticas] P (x) = 2x ^ {2} –3x + 1 \ etiqueta 3 [/ matemáticas]

Ambos (2) y (3) son polinomios idénticos, los coeficientes son idénticos en cada caso, ambos tienen el mismo grado, que es 2. Un polinomio de grado 2 también se conoce como polinomio cuadrático . Un grado 3, 4 y 5 también se conoce como cúbico , cuártico y quíntico, respectivamente.

Se forma una ecuación polinómica cuando [matemática] P (x) = 0 [/ matemática], y así de (1) tenemos

[matemáticas] a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ cdots + a_ {n} x ^ {n} = 0 \ etiqueta 4 [/ matemáticas]

Los valores de [math] x [/ math] que satisfacen (4) se conocen como sus raíces . Una poderosa pieza matemática asociada con polinomios es el teorema fundamental del álgebra que esencialmente establece que un polinomio de grado [matemáticas] n [/ matemáticas] tiene raíces [matemáticas] n [/ matemáticas]. Entonces para (2) o (3) tenemos

[matemáticas] 2x ^ {2} –3x + 1 = (2x-1) (x-1) = 0 \ implica x = 1, \ text {y} x = \ frac {1} {2} \ tag 5 [ /matemáticas]

El trabajo en (5) muestra que el polinomio de grado 2, o cuadrático, tiene dos raíces como lo predice el teorema fundamental del álgebra (tenga en cuenta que el número de raíces también puede incluir números complejos).

“Una ecuación polinómica, también llamada ecuación algebraica, es una ecuación que contiene un polinomio en ambos lados”, esa es mi forma de explicarlo.

Ahora, ¿qué es un polinomio? Bueno, un polinomio como una expresión matemática en la que todas sus variables con un poder integral no negativo; por ejemplo, [matemática] 2xy ^ 3 + y ^ 2z [/ matemática] es un polinomio con tres variables [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z. [/ matemática]

Cuando hablamos de ecuación polinómica, también hablamos de su grado y número de variables; Aquí están algunos ejemplos;

  1. [matemática] ax + b = 0 [/ matemática] con grado = [matemática] 1 [/ matemática] una variable
  2. [matemática] ax + por + c = 0 [/ matemática] con grado = [matemática] 1 [/ matemática] y dos variables
  3. [matemáticas] axy + c = 0 [/ matemáticas] con grado = [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y dos variables
  4. [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] con grado = [matemática] 2 [/ matemática] y una variable
  5. [matemática] axy ^ 2 + c = 0 [/ matemática] con grado = [matemática] 3 [/ matemática] y dos variables
  6. [matemáticas] x ^ 3 = b [/ matemáticas] con grado = [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y una variable
  7. [matemática] a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} +… + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 [/ matemática] con grado = [matemática] n [/ matemática] y una variable

Ecuaciones que no pueden tener potencias de variables o variables no expresadas como registros o raíces cuadradas. Generalmente son de la forma:
Anx ^ n + A (n-1) x ^ (n-1) +… + ao.

Una ecuación con más de un término.

Dos términos es un binomio : ax + b
Tres términos es un trinomio : ax ^ 2 + bx + c
Ambos son polinomios, y también lo es cualquier ecuación con más de tres términos.