Un polinomio [matemático] P (x [/ matemático]) tiene la forma
[matemáticas] P (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ cdots + a_ {n} x ^ {n} \ etiqueta 1 [/ matemáticas]
En (1) los valores [matemática] a_ {0}, a_ {1}, \ cdots, a_ {n} [/ matemática] se conocen como coeficientes y generalmente son números reales . El valor de [math] n [/ math] es un entero positivo y se determina como el grado del polinomio.
En la práctica, una vez que [math] n [/ math] es conocido y [math] a_ {0}, \ cdots, a_ {n} [/ math] son valores asignados, las cosas parecen mucho menos aterradoras. Entonces, por ejemplo, si [matemática] n = 2 [/ matemática] y [matemática] a_ {0} = 1 [/ matemática], [matemática] a_ {1} = – 3 [/ matemática] y [matemática] a_ {2} = 2 [/ math] entonces tenemos
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[matemáticas] P (x) = 1–3x + 2x ^ {2} \ etiqueta 2 [/ matemáticas]
En (2) incluso puedes escribir los coeficientes al revés
[matemáticas] P (x) = 2x ^ {2} –3x + 1 \ etiqueta 3 [/ matemáticas]
Ambos (2) y (3) son polinomios idénticos, los coeficientes son idénticos en cada caso, ambos tienen el mismo grado, que es 2. Un polinomio de grado 2 también se conoce como polinomio cuadrático . Un grado 3, 4 y 5 también se conoce como cúbico , cuártico y quíntico, respectivamente.
Se forma una ecuación polinómica cuando [matemática] P (x) = 0 [/ matemática], y así de (1) tenemos
[matemáticas] a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ cdots + a_ {n} x ^ {n} = 0 \ etiqueta 4 [/ matemáticas]
Los valores de [math] x [/ math] que satisfacen (4) se conocen como sus raíces . Una poderosa pieza matemática asociada con polinomios es el teorema fundamental del álgebra que esencialmente establece que un polinomio de grado [matemáticas] n [/ matemáticas] tiene raíces [matemáticas] n [/ matemáticas]. Entonces para (2) o (3) tenemos
[matemáticas] 2x ^ {2} –3x + 1 = (2x-1) (x-1) = 0 \ implica x = 1, \ text {y} x = \ frac {1} {2} \ tag 5 [ /matemáticas]
El trabajo en (5) muestra que el polinomio de grado 2, o cuadrático, tiene dos raíces como lo predice el teorema fundamental del álgebra (tenga en cuenta que el número de raíces también puede incluir números complejos).