¿Es [matemáticas] x = \ sin (kt) + \ cos (kt) [/ matemáticas] una ecuación de movimiento armónico simple? ¿Por qué?

Answer 1

Movimiento armónico simple es cualquier forma de movimiento en el que la posición obedece a la ecuación diferencial:

[matemáticas] \ displaystyle \ ddot {\ textbf {x}} + \ omega ^ 2 \ textbf {x} = 0 \ tag * {} [/ math]

Donde [math] \ ddot {\ textbf {x}} = \ frac {\ mathrm d ^ 2 \ textbf {x}} {\ mathrm dt ^ 2} [/ math] y [math] \ omega [/ math] es La frecuencia angular.

Para ver si esta ecuación describe un movimiento armónico simple, simplemente necesitamos tomar la segunda derivada de [math] x [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle x = \ sin (kt) + \ cos (kt) \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ dot {x} = k \ cos (kt) – k \ sin (kt) \ tag * {} [/ matemáticas]

Una vez más:

[matemáticas] \ displaystyle \ ddot {x} = -k ^ 2 \ sin (kt) – k ^ 2 \ cos (kt) \ tag * {} [/ matemáticas]

Si examinamos esto un poco más de cerca:

[matemáticas] \ displaystyle \ ddot {x} = -k ^ 2 \ left (\ sin (kt) + \ cos (kt) \ right) = -k ^ 2 x \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto, podemos ver que tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ ddot {x} + k ^ 2 x = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

En otras palabras, [math] x [/ math] obedece a la ecuación diferencial que define un oscilador armónico simple.

Esto no debería sorprendernos: deberíamos saber que [math] \ sin [/ math] y [math] \ cos [/ math] de forma independiente son soluciones, y dado que el operador diferencial es lineal, cualquier combinación lineal de [math] \ sin [/ math] y [math] \ cos [/ math] también deberían ser una solución.

También podría escribir esto como una sinusoide de fase cambiada:

[matemáticas] \ displaystyle x = \ sin (kt) + \ cos (kt) = \ sqrt {2} \ cos \ left (kt – \ frac {\ pi} {4} \ right) \ tag * {} [/ matemáticas]

¡Eso significa que simplemente necesita observar que [math] \ cos [/ math] es una solución!

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También vale la pena ser un poco más cuidadoso con tu idioma.

Las matemáticas son distintas de sus usos en física.

Mucha gente podría usar esa ecuación y nunca ha oído hablar de SHM en sus vidas; esa ecuación no es un simple movimiento armónico.

Esa ecuación describe el movimiento armónico simple.

Hay una clara diferencia entre decir que una ecuación es algo y que describe algo.

Si fuera súper exigente, esta pregunta sería mejor formulada como

¿Es [matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas] una ecuación que describe el movimiento armónico simple?

O:

¿[Matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas] describe el movimiento armónico simple?

La pregunta no está mal , pero está girando hacia un territorio peligroso.

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En resumen, sí.

La ecuación dada obedece a la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple.

Answer 2

[matemáticas] x = sinkt + tg (pi / 4) coskt = (1 / cos (pi / 4)) (sinkt.cos (pi / 4) + sin (pi / 4) .coskt) = (sqr2) .sin (kt + pi / 4) [/ matemáticas]

Simplemente suponga 1 = tg (pi / 4) y sin (a + b) = sina.cosb + sinb.cosa

Answer 3

Si x = cos (kt) + sin (kt) es obvio que (kt) es un ángulo donde cos (kt) y sin (kt) son la proyección de un brazo de radio 1 en las coordenadas horizontales y verticales en las que ángulo (kt) se encuentra. En notación vectorial esto estaría representado por cos (kt) + jsin (kt) = (e ^ jwt) que en la diferenciación dos veces la respuesta representa la aceleración = jjww (e ^ jwt) = —w ^ 2 (posición)

Por lo tanto, es la ecuación de un movimiento armónico simple.