Cómo resolver la ecuación diferencial: y ‘= (y ^ 2) / 3, y (0) = 1

Answer 1

[matemáticas] y ‘= \ frac {y ^ 2} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ {- 2} \ frac {dy} {dx} = \ frac {1} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ {- 2} dy = \ frac {1} {3} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 3 \ int y ^ {- 2} dy = \ int dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 3 (\ frac {y ^ {- 2 + 1}} {- 2 + 1}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica -3y ^ {- 1} = x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica – \ frac {3} {y} = x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica -3 = y (x + C) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = – \ frac {3} {x + C} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y (x) = \ frac {-3} {x + C} [/ matemáticas]

La condición inicial es [matemática] y (0) = 1 [/ matemática].

Deje [math] x = 0 [/ math]:

[matemáticas] \ implica 1 = \ frac {-3} {0 + C} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica C = -3 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ implica y = \ frac {-3} {x-3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = \ frac {3} {3-x} [/ matemáticas].

Answer 2

Es un primer orden separable. Envíe y ^ 2 al otro lado y dx al lado derecho tendrá y ^ (- 2) dy = dx / 3. Integra ambos lados y obtienes -1 / Y = x / 3 + C. Resuelve la constante de integración dejando que x = 0 e y = 1. Luego resuelve para y.

Answer 3

Esta es una ecuación diferencial separable. La idea es mover todas las xs e ys a lados opuestos, incluidos dy y dx, y luego integrar ambos lados.

y ‘= (y ^ 2) / 3

dy / dx = (y ^ 2) / 3

dy / (y ^ 2) = dx / 3

dy / (y ^ 2) = dx / 3

integrando ambos lados:

-1 / y = (1/3) x + c

Enchufar en condición inicial:

-1 = c

ahora reorganizando:

y = -1 / (x / 3 -1)

multiplicando por 3/3 = 1 da:

y = -3 / (x-3)

Answer 4

Esta ecuación diferencial es separable (puede llevar todos los yy y dy al mismo lado y dividirlos).

Así que primero nos dividimos para obtener

3y ‘/ (y) ^ 2 = 1

Tenga en cuenta que y ‘= dy / dx, así que vuelva a escribir

(3 / a ^ 2) dy / dx = 1

Multiplica ambos lados por dx.

3dy / y ^ 2 = dx

Ahora puede integrar el lado izquierdo con respecto a y y el lado derecho con respecto a x. Obtendrás lo siguiente

-3 / y = x + C (C una constante de integración arbitraria)

Reorganizar, obtienes esto

y = -3 / (x + C)

Ahora sabemos que y (0) = 1, así que sustituyamos esa condición para obtener C.

(1) = -3 / ((0) + C)

1 = -3 / C

Entonces C = -3

Vuelva a colocar eso en y = -3 / (x + C), y de hecho obtenemos y = -3 / (x-3).

¡Espero que esto ayude!