¿Es [math] \ displaystyle \ binom {2a-b} {b} = \ binom {a + b} {ab} [/ math]?

Answer 1

Supongo que

[math] \ binom {2a-b} {b} [/ math] y [math] \ binom {a + b} {ab} [/ math] representan combinaciones.

(una comprobación rápida del texto subyacente confirma que la expresión en la pregunta es de hecho una combinación)

Si la igualdad es verdadera, entonces debe ser verdadera para todos los valores integrales de a, b. Esto significa que si existe al menos 1 par de [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas] que no satisface la igualdad, entonces la igualdad no puede ser verdadera.

Consideremos [matemáticas] (a, b) = (6,2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ binom {2a-b} {b} = \ binom {2 \ veces 6–2} {2} = \ binom {10} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ binom {a + b} {ab} = \ binom {6 + 2} {6–2} = \ binom {8} {4} [/ matemáticas]

Claramente, [matemáticas] \ binom {10} {2} \ neq \ binom {8} {4} [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ binom {2a-b} {b} \ neq \ binom {a + b} {ab} [/ matemáticas]

Answer 2

No claro que no. Si [matemática] a = 3 [/ matemática] y [matemática] b = 1 [/ matemática] entonces es [matemática] \ binom {5} {1} [/ matemática] vs [matemática] \ binom {4} {2 }[/matemáticas]. El primero es [matemáticas] 5 [/ matemáticas] y el segundo es [matemáticas] 6 [/ matemáticas].

Supongo que la fuente de la pregunta puede ser esta: hay una transformación simple que convierte la segunda expresión en la primera. Si reemplaza [matemática] b [/ matemática] por [matemática] ab [/ matemática] entonces [matemática] \ binom {a + b} {ab} [/ matemática] se convierte en [matemática] \ binom {2a-b} { b} [/ matemáticas].

Formalmente, si le damos nombres a esas expresiones,

[matemáticas] \ displaystyle F (a, b) = \ binom {2a-b} {b} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle G (a, b) = \ binom {a + b} {ab} [/ math]

entonces

[matemáticas] F (a, b) = G (a, ab) [/ matemáticas]

Como resultado, si bien esas expresiones son diferentes, la suma de esas expresiones cuando [matemáticas] b [/ matemáticas] varía de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] a [/ matemáticas] es la misma:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {b = 0} ^ a \ binom {2a-b} {b} = \ sum_ {b = 0} ^ a \ binom {a + b} {ab} [/ math]

Esto surgió en una respuesta reciente [1], que supongo que puede ser la fuente de la presente pregunta.

Notas al pie

[1] La respuesta de Alon Amit a ¿Qué es [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n + k} {nk} [/ matemáticas]?

Answer 3

Solo si [matemáticas] 2a-b = a + b [/ matemáticas] y [matemáticas] b = ab [/ matemáticas]. Resolver para [matemática] a [/ matemática] o [matemática] b [/ matemática] en cualquiera de ellos da el mismo requisito que [matemática] a = 2b [/ matemática]. Entonces, mientras eso sea cierto, entonces los dos vectores son iguales.