¿Cuáles son las raíces de 12x ^ 4-91x ^ 3 + 194x ^ 2 – 91x + 12?

Answer 1

Técnicamente, solo ha proporcionado una expresión, y aunque puede factorizarse, no tiene raíces ni ceros hasta que la establezca igual a cero, [math] f (x) [/ math] o y , por ejemplo.

Si suponemos que está buscando ceros / raíces de [matemática] f (x) = [/ matemática] o [matemática] y = [/ matemática] lo anterior, o está buscando soluciones de [matemática] 0 = [/ matemática ] lo anterior, tenemos un verdadero punto de partida. Desafortunadamente, no hay una manera simple de resolver una ecuación cuártica, por lo que sus mejores apuestas, sin recurrir a fórmulas basadas en factores del coeficiente principal y la constante, o en los cambios de signo entre términos, es a) prueba y error, evaluando la expresión para unos pocos valores simples de x como [matemática] -2, -1,0,1,2 [/ matemática], o b) observando el gráfico para localizar algunos ceros enteros o racionales y trabajar desde allí. Aquí está el gráfico (ampliado verticalmente):

A partir de esto, parece que x = 3 yx = 4 son ceros, y hay dos más entre 0 y 1. Simplemente podemos evaluar [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] para confirmar que [matemáticas] f (3 ) = f (4) = 0 [/ math], luego divida la expresión secuencialmente por los factores [math] (x-3) [/ math] y [math] (x-4) [/ math], obteniendo [math] 12x ^ 2-7x + 1 [/ matemáticas]. Factorizando esa cuadrática, o usando la fórmula cuadrática, produce dos ceros reales adicionales, [matemática] x = \ frac {1} {3} [/ matemática] y [matemática] x = \ frac {1} {4} [/ matemática ]

Por lo tanto, las raíces de [matemáticas] f (x) = 12x ^ 4-91x ^ 3 + 194x ^ 2-91x + 12 [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] x = \ {\ frac {1} {3}, \ frac {1} {4}, 3,4 \} [/ matemáticas]

Answer 2

f (-1) = 400

f (0) = 12

f (1) = 36

f (2) = 70

f (3) = 0

f (4) = 0

Por lo tanto, (x-3) y (x-4) son raíces. Usando estas dos raíces, se pueden determinar otras dos raíces y son (x-1/3) y (x-1/4)

Las raíces son:

(x-3), (x-4), (x-1/3) y (x-1/4)

EDITAR:

Hay un patrón interesante de palíndromo de coeficientes en esta ecuación.

(a) Los coeficientes de x ^ 4 y constante son los mismos

(b) Los coeficientes de x ^ 3 yx son iguales

Dicha configuración tendrá las raíces como a, 1 / a, by 1 / b.

Consideremos a, 1 / a, by 1 / b son las raíces. Por lo tanto, (xa) (x-1 / a) (xb) (x-1 / b) sería la función. Expandiendo esta expresión, uno obtendría la expresión como

x ^ 4 – (a + 1 / a + b + 1 / b) x ^ 3 + [(2+ (a + 1 / a) (b + 1 / b)] x ^ 2 – (a + 1 / a + b + 1 / b) x + 1 = 0

Suponiendo que a + 1 / a = d y b + 1 / b = e, podemos simplificar la expresión anterior como x ^ 4 – (d + e) ​​x ^ 3 + (2 + de) x ^ 2 – (d + e ) x + 1 = 0

Comparando esta expresión con la ecuación dada, d + e = 91/12 (P) y

2 + de = 194/12 => de = 194 / 12–2 = 170/12 (Q)

Resolviendo d y e de las ecuaciones (P) y (Q), podemos obtener d / e como 17/4 y 10/3

Usando d = a + 1 / a = 17/4, podemos llegar a a = 4 o 1/4

Usando e = b + 1 / b = 10/3, podemos llegar a b = 3 o 1/3

¡El patrón de la ecuación dada tiene una pista en sí mismo!

Answer 3

12x ^ 4–91x ^ 3 + 194x ^ 2–91x + 12 = (12x ^ 2–7x + 1) (x ^ 2–7x + 12) = 0

12x ^ 2–7x + 1 = 0 => x1 = 1/4 y x2 = 1/3

x ^ 2–7x + 120 = 0 => x3 = 3 y x4 = 4