¿Cuál es el mejor truco de ecuaciones cuadráticas?

Answer 1

Todos conocen la fórmula cuadrática. Hay un par de variantes que llamo la fórmula cuadrática de Shakespeare ([matemáticas] 2b [/ matemáticas] o [matemáticas] -2b [/ matemáticas]). Hago muchísimos problemas matemáticos en Quora, y este pequeño atajo a menudo guarda un molesto paso de simplificación. Cuando ponemos un coeficiente en nuestro coeficiente, podemos obtener una fórmula sin una fracción:

[matemática] x ^ 2 – 2bx + c [/ matemática] tiene ceros [matemática] x = b \ pm \ sqrt {b ^ 2-c} [/ matemática]

Una variación menos bonita pero a menudo útil es [math] ax ^ 2 -2bx + c [/ math] tiene ceros

[matemáticas] x = \ frac 1 a (b \ pm \ sqrt {b ^ 2 -ac}) [/ matemáticas]

Estos son triviales para mostrar de la fórmula cuadrática regular, por lo que no me molestaré.

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Me acordé de una cosa más. No es realmente un truco, pero es un hecho interesante.

Digamos que no sabíamos lo que estábamos haciendo e intentamos resolver

[matemáticas] 2x ^ 2 -2x -1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x ^ 2 = 2x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 1 + \ dfrac {1} {2x} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 1 + \ dfrac {1} {2 \ izquierda (1 + \ dfrac {1} {2x} \ derecha)} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 1 + \ dfrac {1} {2 + \ dfrac {1} {x}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 1 + \ dfrac {1} {2 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {2x}}} [/ matemáticas]

No parece que estemos llegando a ninguna parte porque tenemos [matemáticas] x [/ matemáticas] en ambos lados. Si continuamos obtendremos

[matemáticas] x = 1 + \ dfrac {1} {2 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {2 + \ dfrac {1} {1 +…}}}} [/ matemáticas]

Si nos detenemos en varias etapas, obtenemos

[matemáticas] x_1 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = 1 + \ dfrac {1} {2} = \ dfrac 3 2 = 1.5 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 = 1 + \ dfrac {1} {2 + \ dfrac {1} {1}} = \ dfrac 4 3 \ aprox 1.33 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_4 = 1 + \ dfrac {1} {2 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {2}}} = \ dfrac {11} {8} = 1.375 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_5 = 1 + \ dfrac {1} {2 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {2 + \ dfrac {1} {1}}}} = \ dfrac {15} {11 } \ aproximadamente 1.3636 [/ matemáticas]

Podríamos seguir así. De la fórmula cuadrática de Shakespeare [matemáticas] 2x ^ 2 -2x -1 = 0 [/ matemáticas] tiene raíces

[matemáticas] x = \ frac 1 2 (1 \ pm \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

Es un hecho bastante agradable que la raíz positiva es [matemáticas] x \ aproximadamente 1.3660 [/ matemáticas] y a medida que tomamos más y más términos de nuestra fracción continua, los valores se acercan a esta raíz.

Answer 2

A2A, gracias.

El mejor truco con cualquier estructura matemática es comprenderlo lo más posible. Con ecuaciones cuadráticas en una variable, sería la derivación de la fórmula para el discriminante y las raíces (fórmula cuadrática – Wikipedia), un conocimiento de sus conexiones con la fórmula de Vieta (para ecuaciones cuadráticas; Vieta también tiene fórmulas para grados más altos) y comprensión de los conceptos de parábola cuadrática, enfoque y directriz, y de sus propiedades.

Aquí hay otra fuente: Función cuadrática – Wikipedia (comienza con el caso univariante).

Si se refería también a las cuadráticas en variables, recomiendo familiarizarse con la sección Cónica: Wikipedia.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Gracias por el A2A!

Prueba la fórmula cuadrática:

Si [math] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ math], entonces [math] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ math].

Puedes derivar esto completando el cuadrado en el caso general.