Si [matemática] x = \ dfrac {2} {3} [/ matemática] y [matemática] x = -3 [/ matemática] son ​​las raíces de la ecuación [matemática] ax ^ 2 + 7 x + b = 0 [/ matemáticas] encontrar ayb?

Hm … Primero usa las raíces para escribir el polinomio en forma factorizada:

[matemática] ax ^ 2 + 7x + b = 0 [/ matemática], donde [matemática] x ‘= \ dfrac {2} {3} [/ matemática] y [matemática] x’ ‘= -3 [/ matemática]

[matemáticas] a (x – \ frac {2} {3}) (x + 3) = 0 [/ matemáticas]

¿Ves por qué esto es verdad? Luego distribuya todo:

[matemáticas] (hacha + 3a) (x – \ dfrac {2} {3}) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] ax ^ 2 + (3- \ frac {2} {3}) ax – 2a = 0 [/ matemática]

[matemáticas] ax ^ 2 + (\ dfrac {7a} {3}) x – 2a = 0 [/ matemáticas]

Aquí tenemos eso

[matemáticas] -2a = b [/ matemáticas]

Y

[matemáticas] \ dfrac {7a} {3} = 7 [/ matemáticas]

Resolviendo que tenemos

[matemáticas] a = 7 \ dfrac {3} {7} = 3 [/ matemáticas]

Y

[matemáticas] b = -2 (3) = -6 [/ matemáticas]

Voilá! Er … quiero decir … QED

Aquí hay un consejo útil para esto:

Si [math] r_1, r_2 [/ math] son ​​las raíces de un polinomio cuadrático monic [math] x ^ 2 + cx + d [/ math], entonces vas a tener [math] c = – (r_1 + r_2 ), d = r_1r_2 [/ matemáticas].

Puedes usar el mismo truco para un polinomio no monico, mirando [math] ax ^ 2 + acx + ad [/ math], todavía tienes [math] c = – (r_1 + r_2), d = r_1r_2 [ /matemáticas].

Entonces, en su caso, tiene [matemáticas] c = – (\ frac {2} {3} – 3) = \ frac {7} {3}, ac = 7 \ implica a = 3 [/ matemáticas], más usted have [math] d = \ left (\ frac {2} {3} \ right) \ cdot -3 = -2, b = ad = 3 \ cdot -2 = -6 [/ math]

Entonces, el polinomio con el que está trabajando es [matemática] 3x ^ 2 + 7x-6 [/ matemática].

Siempre es una buena idea revisar estas cosas.

En [matemáticas] x = \ frac {2} {3}, [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} 3x ^ 2 + 7x-6 & = 3 \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ 2 + 7 \ left (\ frac {2} {3} \ right) – 6 \\ & = 3 \ left (\ frac {4} {9} \ right) + 7 \ left (\ frac {2} {3} \ right) – 6 \\ & = \ frac {4} {3 } + \ frac {14} {3} – 6 \\ & = \ frac {18} {3} – 6 = 6-6 = 0 \ end {align} [/ math]

En [matemáticas] x = -3 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ begin {align} 3x ^ 2-7x-6 & = 3 (-3) ^ 2 + 7 (-3) – 6 \\ & = 3 \ cdot 9 – 7 \ cdot3 – 6 \\ & = 27 – 21 – 6 = 0 \ end {align} [/ math]

Entonces ambas raíces dadas funcionan.

El hecho de que para los polinomios monicos [math] x ^ n + ax ^ {n-1} + \ cdot + cx + d [/ math] con raíces [math] r_1, \ ldots, r_n [/ math], tienes [ math] a = – (r_1 + \ cdots + r_n), d = -1 ^ nr_1 \ cdots r_n [/ math] se llama fórmulas de Vieta, y puede ser bastante útil para hacer deducciones sobre polinomios en general.

Ecuación dada:

[matemáticas] ax ^ 2 + 7x + b = 0 [/ matemáticas]

Raíces: [matemáticas] x = \ frac {2} {3}; (- 3) [/ matemáticas]

Enchufe las raíces:

  1. Cuando [matemática] x = \ frac {2} {3} [/ matemática]: [matemática] ax ^ 2 + 7x + b = a (\ frac {2} {3}) ^ 2 + 7 (\ frac {2 } {3}) + b = \ frac {4a} {9} + \ frac {14} {3} + b = 0 [/ matemáticas]
  1. [matemáticas] \ Rightarrow \ frac {4a} {9} + \ frac {14} {3} + b = 0. (A) [/ matemáticas]
  • Cuando [matemáticas] x = -3 [/ matemáticas]: [matemáticas] ax ^ 2 + 7x + b = a (-3) ^ 2 + 7 (-3) + b = 9a-21 + b = 0 [/ matemáticas ]
    1. [matemáticas] \ Flecha derecha b = 21-9a [/ matemáticas] [matemáticas] (B) [/ matemáticas]

    Poner (B) en (A):

    [matemáticas] \ Rightarrow \ frac {4a} {9} + \ frac {14} {3} + b = \ frac {4a} {9} + \ frac {14} {3} + 21-9a = 0 [/ matemáticas]

    [matemática] \ Rightarrow \ frac {14} {3} + 21 = 9a- \ frac {4a} {9} [/ matemática]

    [math] \ Rightarrow \ frac {77} {3} = \ frac {77a} {9} [/ math]

    [matemática] \ Rightarrow a = 3 [/ matemática]

    [matemática] \ Flecha derecha b = 21-9a = 21–9 (3) = – 6 [/ matemática]

    ¡¡Feliz aprendizaje!!

    Gracias por el A2A!

    Esto significa que el polinomio se puede escribir como:

    [matemáticas] k (x + 3) (x-2/3) = k (x ^ 2 + \ frac {7} {3} x-2) [/ matemáticas]

    Quiero que ese coeficiente medio sea [matemática] 7 [/ matemática], entonces [matemática] k = 3 [/ matemática], y el polinomio es:

    [matemáticas] 3x ^ 2 + 7x-6 [/ matemáticas]

    Entonces [matemáticas] a = 3 \ tierra b = -6 [/ matemáticas].

    Si [math] x = \ frac23 [/ math] y [math] x = -3 [/ math] son ​​raíces de la ecuación, entonces la ecuación se puede escribir como

    [matemáticas] (x- \ frac23) (x + 3) = 0 [/ matemáticas]

    o [matemáticas] (3x-2) (x + 3) = 0 [/ matemáticas]

    o [matemáticas] 3x ^ 2 + 7x-6 = 0 [/ matemáticas]

    Por lo tanto, [matemáticas] a = 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = -6 [/ matemáticas]

    Tenga en cuenta que si el coeficiente de [matemática] x [/ matemática] no hubiera sido [matemática] 7 [/ matemática] entonces habríamos escalado la ecuación en la fracción apropiada. Por ejemplo, si el coeficiente de [matemáticas] x [/ matemáticas] hubiera sido (digamos) [matemáticas] 5 [/ matemáticas], entonces habríamos multiplicado cada término por [matemáticas] \ frac 7 5 [/ matemáticas]. Sin embargo, tuve una muy buena sensación de que esto no sería necesario.

    Si x = 2/3 yx = -3 son las raíces de ax ^ 2 + 7x + b = 0, encuentre a y b.

    a (2/3) ^ 2 + (7 × 2/3) + b = 0, o

    4a +42 + 9b = 0 o

    4a + 9b = -42 … (1)

    a (-3) ^ 2 + 7x (-3) + b = 0, o

    9a – 21 + b = 0, o

    9a + b = 21 … (2).

    Multiplica (2) por 9, para obtener

    81a + 9b = 189… (3)

    Restar (1) de (3) 77a = 189 + 42 = 231, o

    a = 231/77 = 3.

    De (2), b = 21 – 9a = 21-26 = -6.

    Comprobación: ax ^ 2 + 7x + b = 0, se convierte en

    3x ^ 2 + 7x – 6 = 0. Los factores son

    (3x-2) (x + 3) = 0, o x = 2/3 o -3. Correcto.

    Por lo tanto a = 3 yb = -6.

    Si sabe que myn son raíces de una ecuación cuadrática ax ^ 2 + bx + c, puede asignar una a la otra expandiendo a (xm) (xn) y coeficientes coincidentes.

    a (x-2/3) (x + 3) = ax ^ 2 + a (7/3) x – 2a

    a = a

    7 = a (7/3)

    b = -2a

    entonces a = 3, b = -6

    Para resolver una ecuación cuadrática, normalmente hay 3 formas posibles … ya sea gráficamente o por factorización o usando una fórmula cuadrática: (ya sea x = (-b + (raíz cuadrada de ((b al cuadrado) -4ac)) dividido por ( 2 xa) OR x = (-b- (raíz cuadrada de ((b al cuadrado) -4ac)) dividida por (2 xa) … la forma más simple es mediante el uso de la fórmula … en el caso de la ecuación cuadrática anterior , a = a, b = 7 y c = b … Sustituya estos valores en la ecuación y el valor de x en los lados apropiados y obtenga 2 ecuaciones en términos de a y b que, por lo tanto, se pueden resolver simultáneamente para obtener ayb .. a = -21 / 11 yb = -42 / 11

    SOR = -2 * 1/3 = -7 / 3

    POR = -2

    ECUACIÓN: x² + 7x / 3–2 = 0

    3x² + 7x-6 = 0

    a = 3, b = -6