Si su polinomio fuera monico (es decir, el coeficiente más alto igual a 1 en lugar de tres), tendría las fórmulas de Vieta, derivadas de la representación del producto. La respuesta a su pregunta es casi tan simple, pero tenemos que comenzar un poco antes.
1er enfoque:
Una raíz (como cualquier otro argumento / asignación de valor) le da una condición lineal en los coeficientes, al conectar el argumento para la variable x.
[matemáticas] 3 (-4) ^ 2 + p (-4) + q = 0 [/ matemáticas]
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[matemáticas] 3 (2) ^ 2 + p * 2 + q = 0 [/ matemáticas]
conduce a [matemáticas] -4p + q = -48 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2p + q = -12 [/ matemáticas]. Tomando la diferencia de ambas ecuaciones para eliminar q terminamos con [math] -6p = -36 [/ math], y consecuentemente [math] p = 6. [/ Math] Luego conectamos [math] p = 6 [/ math ] de nuevo en una de las ecuaciones (elijo la segunda) da [matemáticas] 12 + q = -12 [/ matemáticas], y [matemáticas] q = -24 [/ matemáticas].
Entonces tu respuesta es
[matemática] p = 6, \, q = -24, [/ matemática] y la ecuación es [matemática] 3x ^ 2 + 6x-24 = 0. [/ matemática]
Segundo enfoque (a la Vieta):
Su polinomio con raíces -4 y 2, y coeficiente de plomo 3, se puede escribir como [matemáticas] 3 (x + 4) (x-2) [/ matemáticas], lo que da [matemáticas] 3 (x ^ 2 + 4x- 2x-8) = 3x ^ 2 + 6x-24. [/ Matemáticas]