¿Qué tipo de ecuación es esta y cómo la resuelvo: X ^ (2) yy ‘+ 2xy ^ (2) = 2yy’?

Answer 1

Bueno, supongo que podrías llamarlo una ecuación polinomial multivariable. Puede implicar cálculo diferencial. ¿Estás resolviendo para y ?

[matemáticas] x ^ {2} * y * y ‘+ 2 * x * y ^ {2} = 2 * y * y’ [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ {2} * y * y ‘+ 2 * x * y ^ {2}) / y = (2 * y * y’) / y [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {2} * y ‘+ 2 * x * y = 2 * y’ [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {2} * y ‘+ 2 * x * y – x ^ {2} * y’ = 2 * y’- x ^ {2} * y ‘[/ matemáticas]

[matemáticas] 2 * x * y = 2 * y’- x ^ {2} * y ‘= 2 * y’ * (1 – x ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 * x * y / 2 = 2 * y ‘* (1 – x ^ 2) / 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x * y = y ‘* (1 – x ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] x * y / (y * (1 – x ^ 2)) = y ‘* (1 – x ^ 2) / (y * (1 – x ^ 2)) [/ matemáticas] (Ahora y no puede ser cero aquí)

[matemáticas] x / (1 – x ^ 2)) = y ‘/ y = d / dx (log (y)) [/ matemáticas]

Integral ([matemática] (- 1/2) * (- 2 * x) / (1 – x ^ 2)) = Integral (d / dx (log (y)) [/ matemática])

[matemáticas] (- 1/2) * log (1 – x ^ {2}) + (-1/2) * c = log (y) [/ math]

[matemática] 2 * (-1/2) * log (1 – x ^ {2}) + 2 * (-1/2) * c = 2 * log (y) [/ math]

[matemáticas] -log (1 – x ^ {2}) – c = 2 * log (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] log (1 – x ^ {2}) + c = -2 * log (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 – x ^ {2}) * 10 ^ {c} = 1 / y ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = ((1 – x ^ {2}) * 10 ^ {c}) ^ {- 1/2} [/ matemáticas]

Answer 2

Descubrí que es de dos tipos que puedo reconocer: separable y exacto.

Separable :

Escriba DE como dy / dx = -2xy / (x ^ 2 – 2)

Variables separadas: dy / y = -2x / (x ^ 2 – 2)

Integrar: ln | y | = -ln | x ^ 2 – 2 | + C1

“Simplificar”: ln | y | + ln | x ^ 2 – 2 | = C1

ln | y (x ^ 2 – 2) | = C1 (propiedades de los registros)

exp (ln | y (x ^ 2 – 2) |) = exp (C1) (exponer – “tomar e a ambos lados”)

| y (x ^ 2 – 2) | = exp (C1)

y (x ^ 2 – 2) = K donde K = (+/-) exp (C1) (simplificar constante)

Solución explícita: y = K / (x ^ 2 – 2) (resolver para y)

O…

Exacto:

2xy dx + (x ^ 2 – 2) dy = 0

Verifique la exactitud:

Deje M = 2xy y N = x ^ 2 – 2.

Mi = 2x = Nx … hecho

Entonces, existe una función f (x, y) tal que fx (x, y) = 2xy y fy (x, y) = x ^ 2 – 2.

Integre fx “parcialmente” con respecto a x para obtener f (x, y) = (x ^ 2) y + g (y).

Ahora diferencie f wrt y y ajústelo a fy arriba:

fy (x, y) = x ^ 2 + g ‘(y) set = a x ^ 2 – 2.

Entonces, g ‘(y) = -2.

Entonces, g (y) = -2y + C

Solución: f (x, y) = Constante.

O…

(x ^ 2) y – 2y + C = constante

O…

(x ^ 2) y – 2y = K

Resolviendo para y obtenemos la misma solución explícita que la anterior: y = K / (x ^ 2 – 2).

¡Salud!

Answer 3

La ecuación [matemáticas] x ^ {2} y \ displaystyle \ frac {dy} {dx} + 2xy ^ {2} = 2y \ displaystyle \ frac {dy} {dx} [/ math]

es una ecuación diferencial lineal de primer orden que, con el fin de resolverla realmente, podemos reorganizarla en una ecuación diferencial homogénea de primer orden.

[matemática] \ Rightarrow 2xy \, dx + (x ^ {2} – 2) dy = 0 [/ matemática]

Una forma de resolver una ecuación diferencial de este tipo es ver si la ecuación es “exacta”, específicamente, una ecuación diferencial de la forma

[matemática] M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 [/ matemática]

es exacto si

[matemáticas] M_ {y} = N_ {x} [/ matemáticas]

o, en inglés, si la derivada parcial de [matemáticas] M (x, y) [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] y [/ matemáticas] es igual a la derivada parcial de [matemáticas] N (x, y) [/ math] con respecto a [math] x [/ math]. Para nuestra ecuación específica, notamos que

[matemáticas] M (x, y) = 2xy | N (x, y) = (x ^ {2} – 2) [/ matemáticas]

ahora verificamos la exactitud así

[matemáticas] \ Rightarrow M_ {y} = 2x | N_ {x} = 2x [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ por lo tanto M_ {y} = N_ {x} [/ math]

así que ahora podemos ver que nuestra ecuación diferencial es, de hecho, exacta y puede pasar a resolverla. En realidad, hay dos métodos equivalentes para resolver ecuaciones diferenciales exactas, pero solo necesitamos uno para esto (el otro sigue la misma idea, solo algebraicamente invertida). Primero comenzamos definiendo

[matemáticas] f (x, y) = \ displaystyle \ int M (x, y) \, dx + g (y) [/ matemáticas]

que, para nuestro caso, es

[matemáticas] f (x, y) = \ displaystyle \ int 2xy \, dx + g (y) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow f (x, y) = x ^ {2} y + g (y) [/ math]

Para resolver nuestra ecuación, nuestro objetivo es encontrar la función, [matemáticas] g (y) [/ matemáticas] para nuestra solución completa en forma de [matemáticas] f (x, y) [/ matemáticas]; ahora continuamos encontrando la derivada parcial de [math] f (x, y) [/ math] con respecto a [math] y [/ math]

[matemática] \ Rightarrow f_ {y} = x ^ {2} + g ^ {‘} (y) [/ math]

ahora establecemos [math] f_ {y} [/ math] igual a [math] N (x, y) [/ math] y resolvemos para [math] g ^ {‘} (y) [/ math]

[math] f_ {y} = N (x, y) \ Rightarrow x ^ {2} + g ^ {‘} (y) = x ^ {2} – 2 [/ math]

[math] \ Rightarrow g ^ {‘} (y) = -2 [/ math]

para encontrar [math] g (y) [/ math] a partir de esto, simplemente nos integramos con respecto a [math] y [/ math]

[math] \ Rightarrow \ displaystyle \ int g ^ {‘} (y) \, dy = -2y + C = g (y) [/ math]

donde [math] C [/ math] es nuestra constante de integración indefinida. Ahora que hemos encontrado [math] g (y) [/ math], simplemente lo volvemos a conectar a nuestro [math] f (x, y) [/ math] original para obtener la solución general completa

[matemáticas] f (x, y) = x ^ {2} y – 2y + C [/ matemáticas]