Dado que una de las raíces de la ecuación [matemáticas] 2x ^ 2-10mx + \ frac {1} {2} m = 0 [/ matemáticas] es tres veces la otra raíz, ¿cuál es el valor de m?

Answer 1

Solo lo hago por diversión. bueno empecemos

Dado, las raíces de [matemáticas] 2x ^ 2–10mx + \ dfrac {1} {2} m = 0 [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 [/ matemáticas] [matemáticas] \ alpha. [/ math] Sabemos que [math] \ alpha + 3 \ alpha = \ dfrac {10m} {2} = 5m [/ math]

[matemáticas] \ implica 4 \ alpha = 5m [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ alpha = \ dfrac {5m} {4} … (I) [/ matemáticas]

Y [matemáticas] 3 \ alpha ^ 2 = \ dfrac {\ frac {m} {2}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 3 \ alpha ^ 2 = \ dfrac {m} {4} [/ matemáticas]

Al poner el valor de [math] \ alpha, [/ math]

[matemáticas] \ quad 3 × \ dfrac {25m ^ 2} {16} = \ dfrac {m} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {75m ^ 2} {4} = m [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 75m ^ 2 = 4m [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m (75m-4) = 0 [/ matemáticas]

Ya sea [matemática] m = 0 [/ matemática] o [matemática] m = \ dfrac {4} {75} [/ matemática]

[matemáticas] \ Enorme {\ ddot \ smile} [/ matemáticas]

Answer 2

Lo que tenemos aquí es una ecuación cuadrática en términos de x. Usemos la fórmula cuadrática.

[matemática] x = (10m + sqrt (100m ^ 2-4m) ÷ 4 [/ matemática]

[matemática] x = (10m-sqrt (100m ^ 2-4m) ÷ 4 [/ matemática]

Luego, deje que una solución sea tres veces la otra.

[matemática] 3 (10m-sqrt (100m ^ 2-4m) ÷ 4 = (10m + sqrt (100m ^ 2-4m) ÷ 4 [/ matemática]

Multiplica ambos lados por 4.

[matemática] 3 (10m-sqrt (100m ^ 2-4m) = 10m + sqrt (100m ^ 2-4m) = 30m-3sqrt (100m ^ 2-4m) [/ math]

Resta 10m de ambos lados.

[matemáticas] Sqrt (100m ^ 2–4m) = 20m-3sqrt (100m ^ 2–4m) [/ matemáticas]

Agregue [math] 3sqrt (100m ^ 2–4m) [/ math] a ambos lados.

[matemáticas] 4Sqrt [/ matemáticas] [matemáticas] (100m ^ 2–4m) = 20m [/ matemáticas]

Cuadrado a ambos lados.

[matemáticas] 16 (100m ^ 2–4m) = 400m ^ 2 [/ matemáticas]

Divide ambos lados entre 16.

[matemáticas] 100m ^ 2–4m = 25m ^ 2 [/ matemáticas]

Resta ambos lados por [matemática] 25m ^ 2 [/ matemática]

[matemática] 75m ^ 2–4m = m (75m-4) = 0 [/ matemática]

Vemos que 0 es una solución para m. Sin embargo, sustituirlo en el cuadrático original anterior produce una ecuación cuadrática en x es una raíz doble. Entonces,

[matemáticas] 75m-4 = 0 [/ matemáticas]

La solución a esta ecuación lineal es

[matemáticas] m = 4/75 [/ matemáticas]

Esto es aproximadamente 0.5333

Answer 3

Reescribamos con el coeficiente principal 1:

[matemáticas] x ^ 2 – 5mx + \ frac 1 4 m = 0 [/ matemáticas]

Si [math] r [/ math] es la raíz de menor magnitud, sabemos

[matemáticas] (xr) (x-3r) = x ^ 2 – 5mx + \ frac 1 4 m [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 – 4rx + 3r ^ 2 = x ^ 2 – 5mx + \ frac 1 4 m [/ matemáticas]

Coeficientes de igualación,

[matemática] -4r = -5m [/ matemática] y [matemática] 3r ^ 2 = \ frac 1 4 m [/ matemática]

[matemáticas] r = \ dfrac {5m} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] m = 12r ^ 2 = 12 \ cdot \ dfrac {25m ^ 2} {16} = \ dfrac {75m ^ 2} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] 75m ^ 2 – 4m = 0 [/ matemáticas]

[matemática] m (75m – 4) = 0 [/ matemática]

[matemáticas] m = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] m = \ dfrac {4} {75} [/ matemáticas]

Cheque:

[matemática] m = 0 [/ matemática] conduce a [matemática] 2x ^ 2 = 0 [/ matemática] con raíces duales [matemática] r = 0 [/ matemática] y [matemática] 3r = 0 [/ matemática], entonces eso funciona. [matemáticas] \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

[matemáticas] m = \ dfrac {4} {75} [/ matemáticas] da

[matemáticas] 2 x ^ 2 – \ dfrac {40} {75} x + \ dfrac {2} {75} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 150 x ^ 2 – 40 x + 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {1} {150} (20 \ pm \ sqrt {400-300}) = \ frac {1} {150} (20 \ pm 10) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {10} {150} = \ dfrac {1} {15} [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ dfrac {30} {150} = \ dfrac {3} {15} [ /matemáticas]

Vemos que una raíz es tres veces la otra. [matemáticas] \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]