Si sustituimos [matemáticas] y = x + 1, x = y-1 [/ matemáticas] obtenemos
[matemáticas] y ^ n – n (y-1) = b [/ matemáticas]
Así que esto es realmente lo mismo que el aspecto más simple
[matemáticas] y ^ n – ny = bn [/ matemáticas]
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- ¿Qué tipo de ecuación es esta y cómo la resuelvo: X ^ (2) yy ‘+ 2xy ^ (2) = 2yy’?
- Una función cuadrática [matemática] 3x ^ 2 + px + q [/ matemática] tiene las raíces de -4 y 2, ¿cuál es el valor de py q?
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[matemática] n = 1 [/ matemática] es independiente de [matemática] y, [/ matemática] tendrá soluciones infinitas si [matemática] b = 1 [/ matemática], ninguna otra.
[matemáticas] n = 2 [/ matemáticas] es solo una ecuación cuadrática:
[matemáticas] y ^ 2 – 2y – (b-2) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] y = 1 \ pm \ sqrt {1 – (b-2)} = 1 \ pm \ sqrt {3-b} [/ matemáticas]
entonces [matemáticas] x = \ pm \ sqrt {3-b} [/ matemáticas]
[matemáticas] n = 3 [/ matemáticas] es un cúbico deprimido. En general tenemos [math] y ^ 3 – 3py = 2q [/ math] tiene soluciones
[matemáticas] y = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 – p ^ 3}} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 – p ^ 3}} [/ matemáticas]
En nuestro caso particular
[matemáticas] y ^ 3 – 3y = b-3 [/ matemáticas]
tenemos [matemáticas] p = 1, q = (b-3) / 2, [/ matemáticas] entonces
[matemáticas] y = \ sqrt [3] {(b-3) / 2 + \ sqrt {(b-3) ^ 2/4 – 1}} + \ sqrt [3] {(b-3) / 2 – \ sqrt {(b-3) ^ 2/4 – 1}} [/ math]
[matemáticas] x = -1 + \ sqrt [3] {(b-3) / 2 + \ sqrt {(b-3) ^ 2/4 – 1}} + \ sqrt [3] {(b-3) / 2 – \ sqrt {(b-3) ^ 2/4 – 1}} [/ math]
Esos son estos fáciles. Para [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] y ^ 4 – 4y = b-4 [/ matemáticas]
Realmente no sé cómo hacer eso, así que lo dejaré a otros. Para [matemáticas] n = 5, [/ matemáticas]
[matemáticas] y ^ 5 – 5y = b-5 [/ matemáticas]
Ese está en la forma normal de Bring Jerrard y puede ser resuelto por el Bring Radical.
Por supuesto, si solo necesita una respuesta aproximada, un método numérico es el mejor; probablemente la forma más rápida es escribir su ecuación en Alfa y ver qué dice.