¿Es posible derivar la fórmula cuadrática de la ecuación ax ^ 2 + bx + c = 0 sin dividir primero ambos lados de la ecuación?

Answer 1

Sí, y la derivación es un poco más bonita. Comenzando con la cuadrática dada, multiplique cada lado por [matemáticas] a [/ matemáticas] para obtener

[matemáticas] a ^ 2x ^ 2 + abx = -ac. [/ matemáticas]

Ahora completa el cuadrado y escribe

[matemáticas] \ bigg (ax + \ dfrac {b} {2} \ bigg) ^ 2 = -ac + \ dfrac {b ^ 2} {4} = \ dfrac {b ^ 2-4ac} {4}. [/ math ]

Ahora arraiga ambos lados y

[math] ax + \ dfrac {b} {2} = \ dfrac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2}. [/ math]

Y finalmente,

[matemáticas] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

AQUÍ HAY UNA MANERA MEJOR

Comenzando con la cuadrática dada, multiplique cada lado por [matemáticas] 4a [/ matemáticas] para obtener

[matemáticas] 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx = -4ac. [/ matemáticas]

Ahora completa el cuadrado –

[matemáticas] (2ax + b) ^ 2 = b ^ 2-4ac [/ matemáticas]

Ahora solo termina, no hay fracciones hasta el final.

[matemáticas] 2ax + b = \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

Answer 2

Transforme [matemática] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática] en [matemática] y = a (xh) ^ 2 + k [/ matemática] expandiendo esta última como [matemática] ax ^ 2–2ahx + ah ^ 2 + k [/ matemáticas] y coeficientes equivalentes:

[matemáticas] h = \ frac {-b} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] k = c-ah ^ 2 [/ matemáticas]

y los ceros están en [math] h \ pm \ sqrt {\ frac {-k} {a}} [/ math]. Esta fórmula de tres pasos tiene la ventaja sobre la fórmula cuadrática tradicional en que derivamos a lo largo del camino el valor [matemático] h [/ matemático] en el cual la función adquiere su máximo / mínimo, el máximo / mínimo [matemático] k [ / math], y luego los ceros a través de una fórmula que es fácil de memorizar y comprender: para tener raíces reales, [math] k [/ math] y [math] a [/ math] deben tener signos opuestos o de lo contrario la parábola está por encima de la línea y se abre, o por debajo y va más abajo. Y ya sea real o complejo, los ceros deben ser equidistantes del vértice.

Luego podemos reescribir todo en términos del original [matemático] a, b, c [/ matemático] si así lo desea:

[matemáticas] k = c- \ frac {b ^ 2} {4a} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {-k} {a} = \ frac {b ^ 2–4ac} {4a ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] h \ pm \ sqrt {\ frac {-k} {a}} = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2–4ac}} {2a} [/ matemáticas]