¿Cómo puedo averiguar qué ecuación es homogénea?

Answer 1

El término ‘ Ecuación homogénea ‘ se aplica a las ecuaciones diferenciales (ecuaciones que involucran funciones) de dos maneras distintas:

Caso 1)

Ecuaciones diferenciales de primer orden ( solo aparece la primera derivada dy / dx )

Una ecuación diferencial de primer orden se llama homogénea si los coeficientes de sus términos diferenciales son funciones homogéneas .

Las funciones homogéneas son aquellas con un comportamiento de escala multiplicativo, lo que significa que si sus argumentos se multiplican por un factor , su valor se multiplica por alguna potencia del mismo factor :

Si f (x, y) es una función de dos variables, entonces se dice que f es homogéneo si

f (ax, ay) = aᵏf (x, y) . (k = Grado de homogeneidad).

Entonces, una ecuación diferencial de primer orden de la forma

F (x, y) dx + G (x, y) dy = 0 es homogéneo si las funciones F, G, son homogéneas:

F (ax, ay) = aᵏ F (x, y) y G (ax, ay) = aᵏ G (x, y) .

Dividiendo por partes obtenemos:

F (ax, ay) / G (ax, ay) = F (x, y) / G (x, y) y Al establecer a = 1 / x , obtenemos una nueva función f de la variable única (nueva) u = y / x .

f (y / x) = F (1, y / x) / G (1, y / x) por lo tanto:

f (u) = F (1, u) / G (1, u) , que por diferenciación puede transformarse en una ecuación diferencial de la función u .

Caso 2)

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Para aquellos que se llaman homogéneos, tienen que

a) ser lineal , es decir, de la forma

f₀ (x) y + f₁ (x) y ‘+ f₂ (x) y’ ‘+. . . + fᵢ (x) y⁽ ͥ⁾ = g (x)

b) el lado derecho tiene que ser 0 : g (x) = 0

Si g (x) ≠ 0 (alguna función de x o incluso una constante), se denominan no homogéneas.

Ejemplo:

sin (x) y ” + 4xy ‘+ y = 0 es homogéneo, pero

2x²y ” + 4xy ‘+ y = cos (x) no es homogéneo porque el término RHS es ≠ 0 .