¿Cómo puedo derivar la segunda ecuación de movimiento usando cálculo?

Answer 1

Segunda ecuación de movimiento de Newton: –

[matemáticas] S = ut + \ dfrac {1} {2} en ^ 2 [/ matemáticas] [donde, u es la velocidad inicial, a es la aceleración yt es el intervalo de tiempo]

Esta ecuación simplemente encuentra una relación entre la distancia recorrida por una partícula (clásicamente) bajo una aceleración uniforme.

Siga la declaración que dije en cursiva. Para encontrar la distancia cubierta por la partícula, necesitamos encontrar algunas ecuaciones para comenzar. ¿¿Derecho??

Entonces, veamos qué información (paquetes de ecuaciones) tenemos con nosotros, inicialmente.

Tenemos, una ecuación muy primaria con nosotros, [matemáticas] \ displaystyle [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {dS} {dt} = v \ ldots [/ matemáticas] [matemáticas] \, [/ matemáticas] [matemáticas] (I) [/ matemáticas]

(Considerando el movimiento solo en línea recta)

Y también tenemos la ecuación

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {dv} {dt} = a \ ldots \, (II) [/ matemáticas]

Simplemente reemplazando la v en la ecuación (II) por la ecuación (I), encontramos

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {d ^ 2S} {dt ^ 2} = a \ ldots \, (III) [/ matemáticas]

Esto es lo que necesitamos resolver. Es fácil.

Ya sabes, [matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {d ^ 2S} {dt ^ 2} = \ dfrac {d} {dt} \ left (\ dfrac {dS} {dt} \ right) = a [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ dfrac {dS} {dt} = \ int a \, dt = at + c_1 [/ math]

Como [math] \ dfrac {dS} {dt} [/ math] es la velocidad de la partícula,

Por lo tanto, en t = 0, [matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {dS} {dt} | _ {t = 0} = u [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica u = a * 0 + c_1 = c_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica c_1 = u [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ displaystyle \ dfrac {dS} {dt} = u + en [/ math]

Por lo tanto, [math] \ displaystyle S = \ int (u \, dt + at \, dt) [/ math]

[matemáticas] \ implica [/ matemáticas] [matemáticas] S = ut + \ dfrac {1} {2} en ^ 2 + c_2 [/ matemáticas]

Si dice, la partícula ya está teniendo un desplazamiento [matemática] S_0 [/ matemática] en el momento en que comienza a medir su movimiento. Entonces, en t = 0, [matemáticas] S = S_0 [/ matemáticas]

Esto hace que [math] S = S_0 + ut + \ dfrac {1} {2} at ^ 2 [/ math]

Dado que, en la mayoría de los casos prácticos, comenzamos a medir un movimiento cuando la partícula comienza a desplazarse (es decir, cuando [matemáticas] S_0 = 0 [/ matemáticas]),

Obtenemos

[matemáticas] S = ut + \ dfrac {1} {2} en ^ 2 [/ matemáticas]