Pi se conoce mejor como la proporción entre la circunferencia y el diámetro de un círculo.
La fórmula de Gallivan [matemáticas] L = \ frac {\ pi t} {6} (2 ^ {n} +4) (2 ^ {n} -1) [/ matemáticas] es un modelo simple de lo que sucede cuando se dobla el papel repetidamente a lo largo de su longitud. Puedes ver un ejemplo en esta imagen:
Claramente, cada vez que se pliega el papel para formar el siguiente paso, las capas del paso actual deben “dar la vuelta” al nuevo pliegue. Esta “vuelta” forma aproximadamente un semicírculo. El proceso de plegado finaliza cuando no hay suficiente longitud para que la tira plegada se “desplace” por sí misma.
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El pi se origina al calcular la longitud acumulada de estos semicírculos. El grosor [math] t [/ math] es la contribución de una sola capa.
Por ejemplo, calculemos la longitud [matemática] L [/ matemática] requerida para [matemática] n = 1 [/ matemática] veces.
[matemáticas] \ displaystyle L = \ frac {\ pi t} {6} (2 ^ {1} +4) (2 ^ {1} -1) = \ frac {\ pi t} {6} (6) ( 1) = \ pi t [/ matemáticas]
Con solo [math] 1 [/ math] fold solo hay un semicírculo, y solo una capa en el semicírculo, y el grosor del papel [math] t [/ math] es el radio de ese círculo.
De hecho, [math] \ pi t [/ math] es la longitud mínima requerida para doblar una tira de papel (muy corta) una vez alrededor.
Nota: Parte de la simplificación del modelo es la suposición de que el papel se puede doblar de forma circular. Esto solo es cierto si el exterior de la capa se puede estirar hasta [matemática] \ pi t [/ matemática] más que el lado interno de la capa del semicírculo.
Podemos ver la caída de esa suposición a medida que doblamos sucesivamente con más capas: cada vez es más difícil unir los extremos. En la imagen de arriba podemos ver que el conjunto de capas más externo no se puede estirar para que coincida con el conjunto del medio. Es un milímetro o dos cortos.
Se deja al lector como ejercicio hacer una fórmula que compense este fenómeno 🙂 Y para algunos investigadores de materiales contar lo que les sucede a las capas individuales cuando se les obliga a dar vueltas en una capa dada.